Witam. Poniższa definicja i dowód pochodzi z książki Plucińskich: Probabilistyka. Nie rozumiem przejść ponizszych równań w dowodze, czy może mi to ktoś wyjaśnić, ja jakiej podstawie one wynikają?
Proces stochastyczny X nazywamy procesem o przejściach nieskorelowanych, jeśli dla dowolnych \(\displaystyle{ $t_1, t_2 \in T$}\) jest
\(\displaystyle{ \begin{equation}
E\Big ( |X_{t_2} - X_{t_1}|^2 \Big) < \infty \nonumber
\end{equation}}\)
i dla dowolnych \(\displaystyle{ $t_1 < t_2 \leqslant t_3 \leqslant t_4$}\) mamy
\(\displaystyle{ \begin{equation}
E \Big ( ( X_{t_2} - X_{t_1})( X_{t_4} - X_{t_3}) \Big) = E \Big ( ( X_{t_2} - X_{t_1})E( X_{t_4} - X_{t_3}) \Big). \nonumber
\end{equation}}\).
\(\displaystyle{ }\)
Z powyższej definicji wynika, że dla procesu o przejściach nieskorelowanych, którego wartością średnią jest \(\displaystyle{ $m(t), t\in T$}\), zachodzi zależność:
\(\displaystyle{ \begin{eqnarray}
&& E \Big ( \Big ( X_{t_2} - m(t_2) - X_{t_1} + m(t_1)\Big) \Big ( X_{t_4} - m(t_4) - X_{t_3} + m(t_3)\Big)\Big) = 0. \nonumber
\end{eqnarray}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ \begin{eqnarray}
&& E \Big ( \Big ( X_{t_2} - m(t_2) - X_{t_1} + m(t_1)\Big) \Big ( X_{t_4} - m(t_4) - X_{t_3} + m(t_3)\Big)\Big) = \nonumber \\ & = & E \Big ( ( X_{t_2} - X_{t_1})( X_{t_4} - X_{t_3}) \Big) - (m(t_2) - m(t_1))E(X_{t_4} - X_{t_3}) - \nonumber \\ &-& (m(t_4) - m(t_3))E(X_{t_2} - X_{t_1})+ (m(t_2) - m(t_1))(m(t_4)-m(t_3)) \Big ) = 0. \nonumber
\end{eqnarray}}\)
Z góry dziękuję za wszelakie uwagi.-- 30 lis 2010, o 11:57 --Czy taki komentarz wystarczy?
Przy założeniu, że przejścia \(\displaystyle{ $t_1,t_2,t_3,t_4$}\) są nieskorelowane, dla których wartością średnią jest \(\displaystyle{ $m(t), t\in T$}\), możemy odpowiednio odjąć i dodać wartość średnią w pierwszym iloczynie i odjąć i dodać wartość średnią w drugim iloczynie. Na podstawie definicji procesu o przejściach nieskorelowanych wykonujemy operację mnożenia, w ostatniej części dowodu znów dodając i odejmując wartości średnie.