Rozkład t-studenta

[Atraktor]

Wyprowadź wzór na wartość oczekiwaną rozkładu t-Studenta.

[luka52]

\(\displaystyle{ \mathbb{E} (X) & = & \frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} \int_{-\infty}^{+\infty} \left(1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-(\nu+1)/2} x \; \mbox d x , \quad \nu > 1}\)

Ponieważ całka:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{+\infty} \left(1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-(\nu+1)/2} x \; \mbox d x}\)

to funkcja beta odpowiednich argumentów, to jest ona (całka) zbieżna.
Wracając do początkowej całki zauważamy, że funkcja podcałkowa jest nieparzysta, przeto wynik \(\displaystyle{ \mathbb{E} (X) =0}\) jest natychmiastowy.

[Atraktor]

Jak zauważyć, że funkcja podcałkowa jest nieparzysta bo ja jakoś tego nie widzę;/

[luka52]

Zamieniasz \(\displaystyle{ x}\) na \(\displaystyle{ -x}\).