Dystrybuanta i gęstość

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
Awatar użytkownika
bienieck
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 108
Rejestracja: 7 maja 2010, o 17:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy

Dystrybuanta i gęstość

Post autor: bienieck »

Proszę o sprawdzenie rozwiązań.

Zadanie 1
W grupie studenckiej (n=10) przeprowadzono sprawdzian. Niech X oznacza ocenę (przy czterostopniowej skali ocen) losowo wybranego studenta (X jest zmienną losową). Stosunek ocen b.dobrych, dobrych, dostatecznych, niedostatecznych ma się tak jak 1:3:4:2. Wyznaczyć dla zmiennej losowej X:
1.funkcję gęstości prawdopodobieństwa
2.dystrybuantę
3.prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P\left( X<3,5\right)}\) korzystając z gęstości i dystrybuanty,
4.prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P\left( 3 \le X<4,5\right)}\) korzystając z gęstości i dystrybuanty.
ODP:
ad 2
\(\displaystyle{ F\left( x\right) =P\left( X<x\right) =\left\{\begin{array}{l} 0 \ dla \ x \le 2(ndst)\\0,2 \ dla \ 2(ndst)<x \le 3(dst)\\0,2+0,4=0,6 \ dla \ 3(dst)<x \le 4(db)\\0,6+0,3=0,9 \ dla \ 4(db)<x \le 5(bdb)\\1 \ dla \ x>5(bdb) \end{array}}\)

ad 1
Funkcję gęstości prawdopodobieństwa otrzymuję różniczkując na każdym z przedziałów tej dystrybuanty tak?
Czyli \(\displaystyle{ f\left( x\right) =0}\) w całym przedziale?

ad 3
\(\displaystyle{ P\left( X<3,5\right)=0,6}\)

ad 4
\(\displaystyle{ P\left( 3 \le X<4,5\right) = F\left( 4,5\right) - \lim_{x \to3 ^{+} }F\left( x\right)=0,9-0,6=0,3}\)

Zadanie 2
Dystrybuanta zmiennej losowej jest określona następującą tabelką:
\(\displaystyle{ egin{tabular}{|a|b|c|d|e|}
hline
x & left( - infty ;-2
ight) & left[-2;3
ight) & left[3;50
ight) & left( 5; infty
ight) \ hline
Fleft( x
ight) & 0 & 0,4 & 0,5 & 1\ hline
end{tabular}}\)

Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa tej zmiennej.
ODP: \(\displaystyle{ f\left( x\right) = 0}\) dla całego przedziału. Jeżeli dobrze rozumiem tę gęstość (różniczkuję w każdym przedziale dystrybuanty).

Zadanie 3
Gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest dana w następujący sposób:
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0 \ dla \ x \le 0 \\\frac{1}{\lambda} exp\left( - \frac{x}{\lambda}\right) \ dla \ x>0\end{cases}}\)
1.wyznaczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P\left( 5 \le x \le 10\right) \ ( \lambda = 10 )}\)
2.wyznaczyć dystrybuantę.
ODP:
ad 2
\(\displaystyle{ F\left( x\right) = \int_{- \infty }^{x} \frac{1}{\lambda} exp\left( - \frac{x}{\lambda} \right) dx=\begin{cases} 0 \ dla \ x \le 0\\\frac{1}{\lambda} \left( - \lambda\right) exp\left( - \frac{x}{\lambda}\right)+C \ dla \ x>0 \ \end{cases}}\)
Obliczam stałą całkowania C:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\lambda} \left( - \lambda\right) exp\left( - \frac{x}{\lambda}\right)+C=0 \\
-exp\left( - \frac{x}{\lambda}\right)+C=0 \\
C=exp\left( - \frac{x}{\lambda}\right)}\)

Stąd dostaje:
\(\displaystyle{ F\left( x\right) = 0}\) dla całego przedziału.

ad 1
\(\displaystyle{ P\left( 5 \le x \le 10\right)=0 \ ( \lambda = 10 )}\)

Zadanie 4
Niech X będzie zmienną losową ciągłą o dystrybuancie F. Wyznaczyć dystrybuantę zmiennej losowej Y=-X.
ODP: O co biega???
infelix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 paź 2010, o 15:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Dystrybuanta i gęstość

Post autor: infelix »

Jak się nie mylę, w zad 4 chodzi o coś takiego:

\(\displaystyle{ P(Y<t)=P(-X<t)=P(X>-t)=1-P(X \le -t)=1-F(-t) \Rightarrow Y}\)ma dystrybuantę \(\displaystyle{ 1-F(-x)}\)
Awatar użytkownika
bienieck
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 108
Rejestracja: 7 maja 2010, o 17:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy

Dystrybuanta i gęstość

Post autor: bienieck »

A mógłbyś mi sprawdzić zadanie 2 i 3 ? No i też punkt 1 z zadania 1. Nie jestem przekonany co do tego czy dobrze rozumiem obliczanie gęstości z dystrybuanty.
infelix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 paź 2010, o 15:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Dystrybuanta i gęstość

Post autor: infelix »

zad 2 na pewno masz źle. Z tego co napisałeś by wynikało, że gęstość każdej zmiennej jest równa zero, ponieważ wartość dystrybuanty w dowolnym przedziale zawsze będzie jakimś skalarem i po zróżniczkowaniu wyjdzie gęstość równa zero. Różniczkujesz po funkcjach, bo inaczej to nie ma sensu.

Prawdę mówiąc nie rozumiem konceptu tego zadania. Chyba tutaj czegoś brakuje?

Jedyne co mi przychodzi do głowy to:

\(\displaystyle{ F(-2)-F(- \infty )=0}\)
\(\displaystyle{ F(3)-F(-2)=0,4}\)
\(\displaystyle{ F(50)-F(3)=0,5}\)
\(\displaystyle{ F( \infty )-F(5)=1}\)

sumując wszytko:

\(\displaystyle{ F( \infty )-F(- \infty )+F(50)-F(5)=1,9}\)
\(\displaystyle{ F( \infty )-F(- \infty )=1 \Rightarrow F(50)-F(5)=0,9
\Rightarrow P(5<x<50)=90 \%}\)


zad3
ad1 przecałkuj:
\(\displaystyle{ P\left( 5 \le x \le 10\right)= \int_{5 }^{10} \frac{1}{\lambda} exp\left( - \frac{x}{\lambda} \right) dx \ ( \lambda = 10 )}\)

ad2
Zastanów się nad tym:
\(\displaystyle{ F\left( x\right) = \int_{- \infty }^{x} \frac{1}{\lambda} exp\left( - \frac{x}{\lambda} \right) dx = 0 \Rightarrow F(x)=0}\) bo mniej więcej coś takiego zrobiłeś

wydaje mi się, że to jest rozwiązanie:

\(\displaystyle{ F\left( x\right) = \int_{- \infty }^{x} \frac{1}{\lambda} exp\left( - \frac{x}{\lambda} \right) dx=\begin{cases} 0 \ dla \ x \le 0\\\frac{1}{\lambda} \left( - \lambda\right) exp\left( - \frac{x}{\lambda}\right) \ dla \ x>0 \ \end{cases}}\)

i nie ma co się przejmować jakaś stała C, bo jeżeli się całkuje po przedziałach to ona się skraca.
Awatar użytkownika
bienieck
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 108
Rejestracja: 7 maja 2010, o 17:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy

Dystrybuanta i gęstość

Post autor: bienieck »

W zadaniu 2 w tabeli zamiast przedziału \(\displaystyle{ left[ 3;50
ight)}\)
powinno raczej być \(\displaystyle{ left[ 3;5
ight)}\)


A w takim przypadku Twoje obliczenia nie będą miały sensu...

A co do gęstość to z mojego rozumowania wynika, że jeżeli zapis dystrybuanty jest bez zmiennych to gęstość jest 0 (a w zadaniu 2 dystrybuanta nie ma zmiennych bo w każdym przedziale jest po prostu skalar).

Co do zadania 3 ad.2 stała C ma znaczenie bo dystrybuanta musi być dodatnia i przedziałami ciągła (przedziały jednostronnie domknięte, a to z której strony to co podręcznik to podają inaczej) a i chyba też może być tylko rosnąca.
infelix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 paź 2010, o 15:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Dystrybuanta i gęstość

Post autor: infelix »

dla konkretnych przedziałów, każda dystrybuanta będzie skalarem

stała w ogóle nie decyduje o tym czy funkcja jest ciągła, rosnąca itp
Awatar użytkownika
bienieck
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 108
Rejestracja: 7 maja 2010, o 17:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy

Dystrybuanta i gęstość

Post autor: bienieck »

Generalnie jeżeli w jakimś przedziale dystrybuanty jest np 3 to pochodna z tego jest 0. No a gęstość liczy się tak że liczę pochodną (popraw mnie ktoś jeżeli się mylę) (i jeżeli pochodne obustronne tego są równe, czy coś w tym stylu)

Ale żebyśmy się zrozumieli to może podałbyś gęstości do dystrybuant które podałem w tym temacie 220155.htm nikt na to mi nie odpowiedział a to by rozwiało moje wszelkie wątpliwości odnośnie obliczania gęstości.

Stała całkowania może i nie decyduje o tym czy funkcja jest ciągła czy rosnąca, zgadzam się, ale całkuję gęstość, a wynik ma być dystrybuantą, to owy wynik musi spełniać pewne warunki, a wykres \(\displaystyle{ -e^{- \frac{x}{\lambda} }}\) tych warunków raczej nie spełnia. Wykres taki jest pod osią X coby chyba oznaczało niedodatnie prawdopodobieństwo i co zdeka ma się nijak do definicji. Tak czy inaczej tę stałą C, lub żeby nie kłócić się nazwijmy nią stałą K, policzyłem źle .Powinna ona wynieść 1.
infelix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 18 paź 2010, o 15:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Dystrybuanta i gęstość

Post autor: infelix »

tam nie ma żadnej stałej, tylko żeś źle tą całkę policzył. Powinna być od 0 od razu.

\(\displaystyle{ F\left( x\right) = \int_{0}^{x} \frac{1}{\lambda} exp\left( - \frac{x}{\lambda} \right) dx=
\frac{1}{\lambda} \cdot (-{\lambda}) exp\left( - \frac{x}{\lambda} \right) - (\frac{1}{\lambda} \cdot (-{\lambda}) exp\left( - \frac{0}{\lambda} \right))= \begin{cases} 0 \ dla \ x \le 0\\\ 1 - exp\left( - \frac{x}{\lambda}\right) \ dla \ x>0 \ \end{cases}}\)

bienieck pisze:Generalnie jeżeli w jakimś przedziale dystrybuanty jest np 3 to pochodna z tego jest 0. No a gęstość liczy się tak że liczę pochodną (popraw mnie ktoś jeżeli się mylę) (i jeżeli pochodne obustronne tego są równe, czy coś w tym stylu)
Zastanów się co Ty mówisz. Dystrybuanta to suma prawdopodobieństw z jakiegoś przedziału (dlatego całkujemy (sumujemy po f. ciągłych) gęstość (prawdopodobieństwo)), więc po piewsze nie może \(\displaystyle{ F(x)=3}\), bo \(\displaystyle{ 0 \le F(x) \le 1}\). Dlatego też jeżeli jakaś dystrybuanta \(\displaystyle{ F(x)}\) w przedziale \(\displaystyle{ (a,b)}\)przyjmuje wartość t ( \(\displaystyle{ F(b) - F(a) = t}\)) to gęstość w tym przedziale to nie\(\displaystyle{ f(x)=0}\), tylko \(\displaystyle{ f(a<x<b)=P(a<x<b) > 0}\), skoro \(\displaystyle{ t>0}\).
Ostatnio zmieniony 15 lis 2010, o 09:58 przez infelix, łącznie zmieniany 2 razy.
sushi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3424
Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Szczecin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 476 razy

Dystrybuanta i gęstość

Post autor: sushi »

zadanie 2 to masz rozklad skokowy--> zmienna dyskrenta

\(\displaystyle{ P(-2)=0.4}\)

\(\displaystyle{ P(3)=0.1}\)

\(\displaystyle{ P(5)=0.5}\)
Awatar użytkownika
bienieck
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 108
Rejestracja: 7 maja 2010, o 17:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy

Dystrybuanta i gęstość

Post autor: bienieck »

Ok, masz rację infelix. Dzięki wam za pomoc.

-- 15 lis 2010, o 12:18 --

A mógłby mi ktoś mi jeszcze powiedzieć jak będzie wyglądać formalnie zapis funkcji gęstości do rozkładu z poniższych wykresów?

wykresy pod linkiem


\(\displaystyle{ F\left( x\right) =\left\{\begin{array}{l} 0 \ dla \ x \le -1\\0,1 \ dla \ -1<x \le 0\\0,4 \ dla \ 0<x \le 1\\1 \ dla \ 1<x \end{array}}\)

i jak miałbym zapisać f(x)=...

\(\displaystyle{ f\left( x\right) =\left\{\begin{array}{l} 0,1\delta \ dla \ x=-1\\0,3\delta \ dla \ x=0\\0,6\delta \ dla \ x=1 \\0 \ dla \ pozostalych \end{array}}\)

gdzie delta jest deltą diraca
tak???
ODPOWIEDZ