Witam!
Mam problem z następującym zadaniem ze statystyki (zadanie nr 1 w tym roku, a ja już mam problemy )
Zadanie 1. Zmienna losowa \(\displaystyle{ $X$}\) ma rozkład \(\displaystyle{ $\Gamma(\alpha, \lambda)$}\) z parametrami \(\displaystyle{ $\alpha > 0$}\), \(\displaystyle{ $\lambda> 0$}\),
jesli ma gestość
\(\displaystyle{ $$g(x) = \frac{\lambda ^ \alpha}{\Gamma(\alpha)} x ^{\alpha - 1} e ^{-\lambda x} \textbf{1}_{(x>0)}$$}\)
Niech \(\displaystyle{ $X$}\) ma rozkład \(\displaystyle{ $\Gamma(\alpha, \lambda)$}\):
i) Oblicz funkcje tworzaca momenty zmiennej losowej \(\displaystyle{ $X$}\).
ii) Oblicz wartosc oczekiwana oraz wariancje zmiennej losowej \(\displaystyle{ $X$}\).
iii) Niech \(\displaystyle{ $X_1$}\) ma rozkład \(\displaystyle{ $\Gamma(\alpha, \lambda)$}\) oraz niech \(\displaystyle{ $X_2$}\) ma rozkład \(\displaystyle{ $\Gamma(\beta, \lambda)$}\). Oblicz rozkłady zmiennych losowych \(\displaystyle{ $Y := X_1 + X_2$}\) oraz \(\displaystyle{ $Z := \frac{X_1}{X1+X2}$}\)
Podejrzewam, że większość z Was jak spojrzy na to zadanie to mnie wyśmieje . Jednak proszę o w miarę szczegółowe rozwiązanie (szczególnie ppktu i).
Pozdrawiam
Funkcja tworząca momenty
-
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Funkcja tworząca momenty
By wyznaczyć funkcję generującą momenty należy obliczyć \(\displaystyle{ \mathbb{E} \left( e^{tX} \right)}\), czyli dla danego rozkładu będzie to:
Kolejne podpunkty to już jest wykorzystanie wyniku z i). Tj. funkcję generującą momenty można rozwinąć w szereg i skorzystać z interpretacji współczynników przy kolejnych potęgach zmiennej \(\displaystyle{ t}\).
\(\displaystyle{ \int_0^{+\infty} e^{tx} g(x) \; \mbox d x}\)
Podstaw dane i oblicz całkę.Kolejne podpunkty to już jest wykorzystanie wyniku z i). Tj. funkcję generującą momenty można rozwinąć w szereg i skorzystać z interpretacji współczynników przy kolejnych potęgach zmiennej \(\displaystyle{ t}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 10 lis 2010, o 12:46
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 1 raz
Funkcja tworząca momenty
hmm, no dobra, rzeczywiście proste...
ja myślałem, że muszę wyznaczyć dystrybuantę \(\displaystyle{ $Y = e^{tX}$}\), potem jej gęstość a dopiero potem scałkować \(\displaystyle{ $e^{tX}g_{e^{tX}}(x)$}\)... No i zgubiłem się w rachunkach
Dzięki wielkie!
ja myślałem, że muszę wyznaczyć dystrybuantę \(\displaystyle{ $Y = e^{tX}$}\), potem jej gęstość a dopiero potem scałkować \(\displaystyle{ $e^{tX}g_{e^{tX}}(x)$}\)... No i zgubiłem się w rachunkach
Dzięki wielkie!