Funkcja tworząca momenty

nooby_one · Post autor: **nooby_one** » 10 lis 2010, o 12:57

Witam!

Mam problem z następującym zadaniem ze statystyki (zadanie nr 1 w tym roku, a ja już mam problemy )

Zadanie 1. Zmienna losowa $\displaystyle{ $X$}$ ma rozkład $\displaystyle{ $\Gamma(\alpha, \lambda)$}$ z parametrami $\displaystyle{ $\alpha > 0$}$, $\displaystyle{ $\lambda> 0$}$,
jesli ma gestość
$\displaystyle{ $$g(x) = \frac{\lambda ^ \alpha}{\Gamma(\alpha)} x ^{\alpha - 1} e ^{-\lambda x} \textbf{1}_{(x>0)}$$}$
Niech $\displaystyle{ $X$}$ ma rozkład $\displaystyle{ $\Gamma(\alpha, \lambda)$}$:
i) Oblicz funkcje tworzaca momenty zmiennej losowej $\displaystyle{ $X$}$.
ii) Oblicz wartosc oczekiwana oraz wariancje zmiennej losowej $\displaystyle{ $X$}$.
iii) Niech $\displaystyle{ $X_1$}$ ma rozkład $\displaystyle{ $\Gamma(\alpha, \lambda)$}$ oraz niech $\displaystyle{ $X_2$}$ ma rozkład $\displaystyle{ $\Gamma(\beta, \lambda)$}$. Oblicz rozkłady zmiennych losowych $\displaystyle{ $Y := X_1 + X_2$}$ oraz $\displaystyle{ $Z := \frac{X_1}{X1+X2}$}$

Podejrzewam, że większość z Was jak spojrzy na to zadanie to mnie wyśmieje . Jednak proszę o w miarę szczegółowe rozwiązanie (szczególnie ppktu i).

Pozdrawiam

luka52 · Post autor: **luka52** » 10 lis 2010, o 15:10

By wyznaczyć funkcję generującą momenty należy obliczyć $\displaystyle{ \mathbb{E} \left( e^{tX} \right)}$, czyli dla danego rozkładu będzie to:

$\displaystyle{ \int_0^{+\infty} e^{tx} g(x) \; \mbox d x}$

Podstaw dane i oblicz całkę.
Kolejne podpunkty to już jest wykorzystanie wyniku z i). Tj. funkcję generującą momenty można rozwinąć w szereg i skorzystać z interpretacji współczynników przy kolejnych potęgach zmiennej $\displaystyle{ t}$.

nooby_one · Post autor: **nooby_one** » 15 lis 2010, o 16:19

hmm, no dobra, rzeczywiście proste...

ja myślałem, że muszę wyznaczyć dystrybuantę $\displaystyle{ $Y = e^{tX}$}$, potem jej gęstość a dopiero potem scałkować $\displaystyle{ $e^{tX}g_{e^{tX}}(x)$}$... No i zgubiłem się w rachunkach

Dzięki wielkie!