Udowodnić,że spośród średniej arytmetycznej, średniej geometrycznej, i średniej harmonicznej największa jest średnia arytmetyczna a najmniejsza średnia harmoniczna.
Bardzo proszę o szczegółowo pokazany tok myślenia
Która średnia największa
-
dusiaczek91
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 1 lis 2010, o 16:35
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: krk
- Podziękował: 2 razy
-
szw1710
Która średnia największa
Pokażę nierówność pomiędzy średnimi arytmetyczną i geometryczną. Wynika ona z nierówności Jensena dla funkcji wklęsłej \(\displaystyle{ f(x)=\ln x}\).
Nierówność Jensena dla funkcji wklęsłej:
\(\displaystyle{ f\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \right)\ge\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)}\)
Ta nierówność może zostać zapisana dużo ogólniej, ale taka wersja mi wystarczy.
Weźmy teraz funkcję wklęsłą \(\displaystyle{ f(x)=\ln x}\) oraz liczby dodatnie \(\displaystyle{ x_1,\dots,x_n}\). Wobec nierówności Jensena mamy więc
\(\displaystyle{ \ln\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \right)\ge\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln x_i\\
\ln\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \right)\ge\frac{1}{n}\ln(x_1\dots x_n)\\
\ln\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \right)\ge\ln\sqrt[n]{x_1\dots x_n}}\)
Teraz podnosimy \(\displaystyle{ e}\) do potęg jak powyżej i korzystamy z tego, że funkcja wykładnicza jest rosnąca i mamy co trzeba:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i\ge\sqrt[n]{x_1\dots x_n}}\)
Nierówność pomiędzy średnimi geometryczną a harmoniczną wynika z powyższej zastosowanej do odwrotności \(\displaystyle{ \frac{1}{x_1},\dots,\frac{1}{x_n}}\) zamiast do \(\displaystyle{ x_1,\dots,x_n}\).
Nierówność Jensena dla funkcji wklęsłej:
\(\displaystyle{ f\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \right)\ge\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f(x_i)}\)
Ta nierówność może zostać zapisana dużo ogólniej, ale taka wersja mi wystarczy.
Weźmy teraz funkcję wklęsłą \(\displaystyle{ f(x)=\ln x}\) oraz liczby dodatnie \(\displaystyle{ x_1,\dots,x_n}\). Wobec nierówności Jensena mamy więc
\(\displaystyle{ \ln\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \right)\ge\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \ln x_i\\
\ln\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \right)\ge\frac{1}{n}\ln(x_1\dots x_n)\\
\ln\left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i \right)\ge\ln\sqrt[n]{x_1\dots x_n}}\)
Teraz podnosimy \(\displaystyle{ e}\) do potęg jak powyżej i korzystamy z tego, że funkcja wykładnicza jest rosnąca i mamy co trzeba:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i\ge\sqrt[n]{x_1\dots x_n}}\)
Nierówność pomiędzy średnimi geometryczną a harmoniczną wynika z powyższej zastosowanej do odwrotności \(\displaystyle{ \frac{1}{x_1},\dots,\frac{1}{x_n}}\) zamiast do \(\displaystyle{ x_1,\dots,x_n}\).
Ostatnio zmieniony 9 lis 2010, o 22:35 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
-
dusiaczek91
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 1 lis 2010, o 16:35
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: krk
- Podziękował: 2 razy
-
szw1710
Która średnia największa
Dla mnie to jest najprostsze Z nierownością Jensena mam do czynienia codziennie. Może któryś z młodszych kolegów, nie skażonych rutyną, poda rozwiązanie nie odwołujące się do wiedzy, którą trzeba posiąść. Chociaż nierówność Jensena wykłada się na studiach matematycznych zaraz w pierwszym semestrze analizy, gdy poznaje się funkcje wypukłe.
Nierówność Jensena dla funkcji wypukłej: jeśli \(\displaystyle{ f:D\to\mathbb{R}}\) jest wypukła, gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest wypukłym podzbiorem rzeczywistej przestrzeni liniowej, to dla każdych \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\), \(\displaystyle{ x_1,\dots,x_n\in D}\), \(\displaystyle{ t_1,\dots,t_n\ge 0}\) takich, że \(\displaystyle{ t_1+\dots+t_n=1}\), mamy
\(\displaystyle{ f\left( \sum_{i=1}^nt_ix_i\right)\le\sum_{i=1}^nt_if(x_i)}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest wklęsła, gdy \(\displaystyle{ -f}\) jest wypukła. Stąd nierówność Jensena odwraca się dla funkcji wklęsłych i jest jak w pierwszym moim poście. Tam stosowałem szczególne wagi - wszystkie \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Można rozumowanie powtórzyć dla ogólnej nierówności Jensena dostając nierówności dla średnich ważonych.
Nierówność Jensena dla funkcji wypukłej: jeśli \(\displaystyle{ f:D\to\mathbb{R}}\) jest wypukła, gdzie \(\displaystyle{ D}\) jest wypukłym podzbiorem rzeczywistej przestrzeni liniowej, to dla każdych \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\), \(\displaystyle{ x_1,\dots,x_n\in D}\), \(\displaystyle{ t_1,\dots,t_n\ge 0}\) takich, że \(\displaystyle{ t_1+\dots+t_n=1}\), mamy
\(\displaystyle{ f\left( \sum_{i=1}^nt_ix_i\right)\le\sum_{i=1}^nt_if(x_i)}\)
Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest wklęsła, gdy \(\displaystyle{ -f}\) jest wypukła. Stąd nierówność Jensena odwraca się dla funkcji wklęsłych i jest jak w pierwszym moim poście. Tam stosowałem szczególne wagi - wszystkie \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\). Można rozumowanie powtórzyć dla ogólnej nierówności Jensena dostając nierówności dla średnich ważonych.
Ostatnio zmieniony 9 lis 2010, o 22:42 przez szw1710, łącznie zmieniany 1 raz.
-
dusiaczek91
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 1 lis 2010, o 16:35
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: krk
- Podziękował: 2 razy
-
szw1710
Która średnia największa
Zobacz post wyżej - dopisałem o nierówności Jensena. Można ją też przyjąć za definicję funkcji wypukłej. Tak naprawdę definicję wypukłości mamy dla \(\displaystyle{ n=2}\) i okazuje się, że nierówność Jensena dla \(\displaystyle{ n=2}\) jest równoważna nierówności Jensena dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\).
Funkcja \(\displaystyle{ f:D\to\mathbb{R}}\) jest wypukła (realia jak w poprzednim poście), gdy
\(\displaystyle{ f\left( tx+(1-t)y\right)\le tf(x)+(1-t)f(y)}\)
dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in D}\), \(\displaystyle{ t\in [0,1]}\).
Funkcja \(\displaystyle{ f:D\to\mathbb{R}}\) jest wypukła (realia jak w poprzednim poście), gdy
\(\displaystyle{ f\left( tx+(1-t)y\right)\le tf(x)+(1-t)f(y)}\)
dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y\in D}\), \(\displaystyle{ t\in [0,1]}\).