Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej

artur007 · Post autor: **artur007** » 30 paź 2010, o 15:17

Witam,
jedno z podpunktów zadania brzmi: obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej losowej o gęstośći fx(\(\displaystyle{ \cdot}\))

\(\displaystyle{ fx(x)=\begin{cases} c(x^{3}+27x^{2}+243x+732) \midskip dla x \in (3,11)
\\ 0 \midskip dla x \not \in (3,11) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ c= \frac{1}{34840}= 2.870264e-05}\)

Wiem że wartość oczekiwana jako że gęstość jest ciągła, to całka na przedziale od 3 do 11 tej funkcji. Ale... jak policzyć taką całkę? o.O

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 30 paź 2010, o 15:56

\(\displaystyle{ E(X)= \int_{3}^{11} x\cdot f(x)dx}\)

artur007 · Post autor: **artur007** » 30 paź 2010, o 19:56

Czy możliwe że wartość taka, będzie wynosić:
\(\displaystyle{ E_{x}= 0.139658}\)?
Chodzi o to że policzyłem w programie R wartość funkcji w granicy (Dla 3, i 11), a potem z tych wartości wyznaczyłem średnią.

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 30 paź 2010, o 22:10

Mi wyszło po skorzystaniu ze wzoru:

\(\displaystyle{ E(X)=7.952284730}\)

PS. Nie możesz tak robić, że liczysz wartości skrajne i bierzesz z nich średnią, bo rozkład nie jest jednostajny. Zresztą popatrz: zmienna X przyjmuje wartości z niezerowym prawdopodobieństwem tylko z przedziału (3,11), zatem niemożliwe aby średnio przyjmowała ona wartość mniejszą od 1.

artur007 · Post autor: **artur007** » 30 paź 2010, o 23:08

oł. racja!
właśnie czytam Krysickiego i Włodarskiego rozdział o obliczaniu całek oznaczonych. Nie stety trochę za wysoki poziom.

utknąłem na tym etapie policzenia:

\(\displaystyle{ \int_{3}^{11} = x \cdot f(x)}\)
\(\displaystyle{ \int_{3}^{11} = x \cdot c(x^{3}+27x^{2}+243x+732) \rightarrow c \cdot \int_{3}^{11} \frac{x^4}{4}+9x^3+\frac{243x^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ }\)
\(\displaystyle{ c \cdot x^2 \cdot (\frac{x^2+32x+486}{4})}\)

i co dalej? co podstawić pod iksa?

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 30 paź 2010, o 23:29

\(\displaystyle{ \int_{3}^{11}c(x^4+27x^3+243x^2+732x)dx = c\cdot \left[ \frac{x^5}{5} + \frac{27x^4}{4} + \frac{243x^3}{3} + \frac{732x^2}{2} \right]^{11}_3 =\\ = c \cdot (\frac{11^5}{5} + \frac{27\cdot 11^4}{4} + \frac{243 \cdot 11^3}{3} + \frac{732\cdot 11^2}{2} - (\frac{3^5}{5} + \frac{27\cdot 3^4}{4} + \frac{243 \cdot 3^3}{3} + \frac{732\cdot 3^2}{2}))}\)

W sensie, najpierw liczysz całkę nieoznaczoną, a następnie do wyrażenia podstawiasz x=11 i odejmujesz wyrażenie dla x=3.

artur007 · Post autor: **artur007** » 30 paź 2010, o 23:34

To z tym odejmowaniem wyczytałem już na tym forum. Ale mimo to, ogromne dzięki za wysiłek!
Ale widzę gdzie błąd robiłem. Kasowałem 732. Bo widzę że Ty tam wstawiasz 'x' po całkowaniu. Nie za bardzo rozumiem skąd ten?
a w ułamku nie zgubił się również kwadrat?
chodzi o to czy nie powinien być:
\(\displaystyle{ \frac{243 \cdot x^2}{2}}\)

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 30 paź 2010, o 23:38

Ze wzorów dotyczących całkowania .

Lub inaczej: Całkowanie to mniej więcej coś odwrotnego jak różniczkowanie. Co trzeba zróżniczkować aby otrzymać liczbę stałą? Oczywiście funkcję liniową, zatem żeby otrzymać 732 musimy wziąć pochodną z 732x, oznacza to, że całka z 732 to 732x .

artur007 · Post autor: **artur007** » 31 paź 2010, o 00:03

Dla potomnych. Przed scałkowaniem, należy pomnożyć przez X. Powyższy przykład to przykład całkowania.

Dziękuję Ci bardzo raz jeszcze!

Zlodiej · Post autor: **Zlodiej** » 31 paź 2010, o 00:23

Faktycznie, zapomniałem pomnożyć przez x ...

Poprawione.