Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe
Witam wszystkich, dziś nauczyciel od matematyki wprowadzając nam temat o odchyleniu standardowym powiedział, ze owe odchylenie to "Średnia arytmetyczna z różnic danych i ich średniej arytmetycznej" innymi słowy jest to "Średnia różnica pomiędzy danymi, a średnią". Dodał również, ze kwadraty i pierwiastki występują w tym wzorze w celu uniknięcia wartości ujemnych. Zastanawiałem się trochę nad tym i doszedłem do wniosku, że gdyby było tak jak nauczyciel mówił, to wystarczyłoby różnice pomiędzy danymi, a średnia z tych danych wziąć w wartość bezwzględną (Bez żadnych pierwiastków). Natomiast wzór na odchylenie standardowe w ogóle nie pasuje do opisu nauczyciela. Chciałbym was prosić o wytłumaczenie tego wzoru, bo nie jestem uczniem, który kuje wzory na pamięć
-
szw1710
Odchylenie standardowe
Mnie się to kojarzy z twierdzeniem Pitagorasa
Zobaczmy na dwie liczby: \(\displaystyle{ x_1,x_2}\). Dla nich średnia to oczywiście
\(\displaystyle{ \bar{x}=\frac{a+b}{2}}\),
ale nie to jest tu najważniejsze, bo chcę o czymś innym powiedzieć. Otóż weźmy teraz w układzie współrzędnych dwa punkty:
\(\displaystyle{ (x_1,x_2),\quad (\bar{x},\bar{x})}\).
Ich odległość (właśnie z twierdzenia Pitagorasa) to
\(\displaystyle{ \sqrt{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2}=s\sqrt{2}}\),
gdzie \(\displaystyle{ s}\) to odchylenie standardowe liczb \(\displaystyle{ x_1,x_2}\). Można więc odchylenie standardowe zinterpretować geometrycznie jako pewną odległość. Podobnie dla układu \(\displaystyle{ n}\) liczb \(\displaystyle{ x_1,x_2,\dots,x_n}\) będziemy mieli (ale już w przestrzeni n-wymiarowej), że odległość punktów
\(\displaystyle{ (x_1,x_2,\dots,x_n),\quad (\bar{x},\bar{x},\dots,\bar{x})}\)
jest równa \(\displaystyle{ s\sqrt{n}}\).
Dlatego można powiedzieć, że odchylenie standardowe mierzy, jak średnio różnią się dane od ich średniej arytmetycznej. A sam wzór z pierwiastkiem postrzegam właśnie geometrycznie i tak to sobie uzasadniam, skąd mógł się wziąć.
Zobaczmy na dwie liczby: \(\displaystyle{ x_1,x_2}\). Dla nich średnia to oczywiście
\(\displaystyle{ \bar{x}=\frac{a+b}{2}}\),
ale nie to jest tu najważniejsze, bo chcę o czymś innym powiedzieć. Otóż weźmy teraz w układzie współrzędnych dwa punkty:
\(\displaystyle{ (x_1,x_2),\quad (\bar{x},\bar{x})}\).
Ich odległość (właśnie z twierdzenia Pitagorasa) to
\(\displaystyle{ \sqrt{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2}=s\sqrt{2}}\),
gdzie \(\displaystyle{ s}\) to odchylenie standardowe liczb \(\displaystyle{ x_1,x_2}\). Można więc odchylenie standardowe zinterpretować geometrycznie jako pewną odległość. Podobnie dla układu \(\displaystyle{ n}\) liczb \(\displaystyle{ x_1,x_2,\dots,x_n}\) będziemy mieli (ale już w przestrzeni n-wymiarowej), że odległość punktów
\(\displaystyle{ (x_1,x_2,\dots,x_n),\quad (\bar{x},\bar{x},\dots,\bar{x})}\)
jest równa \(\displaystyle{ s\sqrt{n}}\).
Dlatego można powiedzieć, że odchylenie standardowe mierzy, jak średnio różnią się dane od ich średniej arytmetycznej. A sam wzór z pierwiastkiem postrzegam właśnie geometrycznie i tak to sobie uzasadniam, skąd mógł się wziąć.
Odchylenie standardowe
Ja niezbyt łapię interpretację geometryczną odchylenia standardowego (Co nie znaczy, że jest złe).
Chciałbym, aby ktoś napisał mi wprost o czym informuje nas liczba sigma (Objaśnienie może być troszkę szczegółowe)
Chciałbym, aby ktoś napisał mi wprost o czym informuje nas liczba sigma (Objaśnienie może być troszkę szczegółowe)