Wartość oczekiwana i odchylenie standardowe

[Dakkar Fezboul]

Witam. Przygotowuje się właśnie do poprawki ze statystyki. Niestety jak to zwykle bywa po wakacjach, nie wiele pamięta się z przerabianego materiału. Trafiłem na takie oto zadanie:

Dany jest rozkład zmiennej losowej X:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
x_{i} & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline
p_{i} & 0,2 & 0,3 & 0,4 & 0,1 \\ \hline
\end{tabular}}\)

Oblicz wartość oczekiwaną i odchylenie standardowe zmiennej losowej X.

Problem w tym, że stwierdzenie "wartość oczekiwana" jest dla mnie zupełnie obce. Absolutnie nie przypominam sobie, abym coś takiego kiedykolwiek liczył. Poszperałem trochę w internecie i znalazłem w jednym źródle, że "wartość oczekiwana" to najzwyklejsza w świecie średnia, a w drugim, że jest to coś związanego z prawdopodobieństwem (?!). Cóż wydedukowałem, że w tabeli znajduje się jakiś rozkład prawdopodobieństwa, bo \(\displaystyle{ p_{i}}\) po zsumowaniu daje wynik 1. Niestety nie bardzo wiem, co dalej z tym zrobić. Jedyne co przyszło mi do głowy, do potraktowanie \(\displaystyle{ p_{i}}\) jako \(\displaystyle{ n_{i}}\) (liczebności) i podstawienie pod wzór:

Średnia arytmetyczna (podkreślenie nie działa) = \(\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{}^{} x_{i}p_{i}}\) = 0,6

Odchylenie standardowe = \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{}^{} x_{i}^{2} - srednia^{2}}}\) ~ 1,14

Czy ktoś mógłby pomóc?

Ps. Egzamin mam jutro, więc prosiłbym raczej o szybkie odpowiedzi.

[kolorowe skarpetki]

Rozkład (czyt.tabelka), który podałeś określany jest mianem dyskretnego i

\(\displaystyle{ \bullet \,}\) wartość oczekiwana zmiennej \(\displaystyle{ X}\) o takim rozkładzie : \(\displaystyle{ EX=\sum \limits_{i \in I} x_i p_i}\)

\(\displaystyle{ \bullet \,}\) dystrybuanta zmiennej \(\displaystyle{ X}\) o takim rozkładzie : \(\displaystyle{ D^2X=\sum \limits_{i \in I} x_i^2 p_i- \left (EX \right )^2}\)

Odchylenie standardowe, to po prostu pierwiastek z dystrybuanty. Twoje \(\displaystyle{ i \in \{1,2,3,4 \}}\).