Rozkład Poissona.

[welcomealone]

W magazynie hurtowni znajduje się 200 produktów. Wśród nich 10 jest wadliwych. Doświadczenie polega na trzykrotnym wylosowaniu ze zwracaniem jednego produktu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych będzie co najwyżej jeden produkt wadliwy?

Będę bardzo wdzięczny za rozwiązanie! Próbowałem Rozkładem Bernoulliego, ale to n wydaje mi się za duże. Teraz kompletnie nie mam pojęcia. :

P.S. Jestem po raz pierwszy na forum, proszę o wyrozumiałośc.

[kuch2r]

Możemy wyżej wspomniany rozkład dwumaniowych \(\displaystyle{ \mathcal{B}(200,\frac{1}{20})}\) przybliżyć rozkładem Poissony z parametrem \(\displaystyle{ \lambda=\frac{1}{20}\cdot 200=10}\).
Wówczas:
\(\displaystyle{ P(X\leqslant 1)=P(X=0) + P(X=1)}\)
gdzie
\(\displaystyle{ X\sim Poiss(10)}\)

[welcomealone]

Dziękuję bardzo!

Tylko nie rozumiem jak się ma sprawa z tymi 3 powtórzeniami.

[kuch2r]

Nie doczytałem treści zadania... :/ wieczorem dopisze poprawne rozwiazanie..

[welcomealone]

Byłoby fajnie bo jutro rano zdaję.

[andy_rod]

Niech \(\displaystyle{ X _{i}}\) bedzie zmienną z rozkładu zero jedynkowego (0-dobry, 1-wadliwy) z parametrem \(\displaystyle{ p=P(X _{i}=1)=10/200}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,3}\)

Niech \(\displaystyle{ N=X _{1}+X _{2}+X _{3}}\) oznacza ilość wadliwych produktów w 3 losowaniach.

Interesuje nas \(\displaystyle{ P(N=0) + P(N=1)}\).

\(\displaystyle{ P(N=0)=P(X _{1}+X _{2}+X _{3}=0)=P(X _{1}=0,X _{2}=0,X _{3}=0)\stackrel{nzl}{=}P(X _{1}=0) \cdot P(X _{2}=0) \cdot P(X _{3}=0)\stackrel{id}{=}[P(X _{1}=0)] ^{3}=(190/200) ^{3}}\)

\(\displaystyle{ P(N=1)=P(X _{1}+X _{2}+X _{3}=1)=P ( ( X _{1}=0,X _{2}=0,X _{3}=1) \vee ( X _{1}=0,X _{2}=1,X _{3}=0) \vee ( X _{1}=1,X _{2}=0,X _{3}=0) )\stackrel{iid}{=}(190/200) ^{2} \cdot 10/200 \cdot 3}\)

albo od razu ze schematu Bernoulliego:
\(\displaystyle{ P _{3}(0)+P _{3}(1)={3\choose 0} \cdot (10/200) ^{0} \cdot (190/200) ^{3} + {3\choose 1} \cdot (10/200) ^{1} \cdot (190/200) ^{2}}\)