wartosc oczekiwana zmiennej losowej opisanej funkcja

[dondrapichrust]

mam takie zadanko zeby znalesc wart. oczekiwana zmiennej losowej opisanej funkcja:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \rightarrow x<-1 \\30( x^{4} + 2x^{3} + x^{2}) \rightarrow -1 \le x \le 0 \\0 \rightarrow x > 0 \end{cases}}\)
znam wzor, wiem jak takie zadania sie rozwiazuje ale zawsze mialem potknięcia w wyliczeniach i całkowaniu

\(\displaystyle{ E(x) = \int_{-\infty }^{ +\infty }x f(x)dx}\)
\(\displaystyle{ E(x)= \int_{- \infty }^{-1}0xdx + \int_{-1}^{0}30( x^{4} + 2x^{3} + x^{2}) + \int_{0}^{+ \infty }0xdx = 30( x^{4} + 2x^{3} + x^{2}) \cdot \frac{1}{2}x^{2} |^{0}_{-1} = 30 \cdot \frac{1}{2}(x^{6} + 2x^{5} + x^{4}) |^{0}_{-1} = 15(1+2+1)=60}\)

dobrze?
pytanie, czy zawsze jak się całkuje ten " \(\displaystyle{ x}\) " zamienia sie w \(\displaystyle{ \frac{1}{2}x^{2}}\)?

[kuch2r]

przecież \(\displaystyle{ 30x^4\cdot 2x^3\cdot x^2=60x^9}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ EX=\int\limits_{-1}^{0}60x^9dx=60\cdot \frac{x^{10}}{10}|\limits_{-1}^{0}}\)

[dondrapichrust]

mój błąd, wewnątrz tego nawiasu było dodawanie a nie mnożenie, już poprawiłem, sry...

[scyth]

No to nie umiesz całkować. Rozbij nawias na trzy całki i pamiętaj, że \(\displaystyle{ \int \alpha x^n dx = \alpha \frac{x^{n+1}}{n+1}}\) dla \(\displaystyle{ n\ne -1}\).

[dondrapichrust]

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{0}30(x^{4} + 2x^{3} + x^{2})dx = \int_{-1}^{0}30x^{4}dx + \int_{-1}^{0}60x^{3}dx + \int_{-1}^{0}30x^{2}dx = 30 \cdot \frac{x^{5} }{5} |^{0}_{-1} + 60 \frac{x^{4} }{4} |^{0}_{-1} + 30 \frac{x^{3} }{3}|^{0}_{-1} = -6 + 15 - 10 = -1}\)

?

[scyth]

git

[dondrapichrust]

przeliczales to? bo sprawdzilem ponownie i nie wiem czy znaki nie powinny byc odwrotnie, od momentu podstawania granic:
\(\displaystyle{ (0 - (-6)) + (0 - 15) + (0 + 10) = 6 - 15 + 10 = 1}\)

____________________________
mam jeszcze takie zadanko, rzuć okiem czy dobrze

dla jakiej wartości parametru k, f(x) jest funkcja gestosci zmiennej losowej x

\(\displaystyle{ \begin{cases} 0 \rightarrow x<-2 \\k(x^{3} + 2x^{2}) \rightarrow -2 \le x \le 0 \\ x \rightarrow x>0 \end{cases}\\
\int_{-2}^{0} k(x^{3} + 2x^{2})dx = 1\\
\int_{-2}^{0}kx^{3}dx + \int_{-2}^{0}2kx^{2} = 1\\
k \frac{x ^{4} }{4} |^{0}_{-2} + 2k \frac{x^{3} }{3} |^{0}_{-2} = 1\\
(0 - 4k) + (0 - (- \frac{16}{3}k)) = 1\\
-4k + \frac{16}{3}k = 1\\
\frac{4}{3}k = 1\\
k = \frac{3}{4}}\)

[kuch2r]

przeliczales to? bo sprawdzilem ponownie i nie wiem czy znaki nie powinny byc odwrotnie, od momentu podstawania granic:
\(\displaystyle{ (0 - (-6)) + (0 - 15) + (0 + 10) = 6 - 15 + 10 = 1}\)

to jest twoja wartość oczekiwana ?

[dondrapichrust]

-1 lub 1, nie wiem czy znaki sa dobrze, na chłopski rozum to całka jest z przedziału \(\displaystyle{ -1 \le x \le 0}\) wiec chyba 1 nie moze byc?

[scyth]

Znaki rzeczywiście były źle, jednak wartość oczekiwana jest źle policzona - zapomniałeś o wymnożeniu przez \(\displaystyle{ x}\).
Drugie zadanie OK.

[dondrapichrust]

\(\displaystyle{ \int_{-1}^{0}30(x^{4} + 2x^{3} + x^{2})xdx = \int_{-1}^{0}30(x^{5} + 2x^{4} + x^{3})dx = \int_{-1}^{0}30x^{5}dx + \int_{-1}^{0}60x^{4}dx + \int_{-1}^{0}30x^{3}dx = 30 \cdot \frac{x^{6} }{6} |^{0}_{-1} + 60 \frac{x^{5} }{5} |^{0}_{-1} + 30 \frac{x^{4} }{4}|^{0}_{-1} = (0 - 5) + (0 - (-12)) + (0 - 7,5) = -5 + 12 - 7,5 = -0,5}\)

no teraz musi byc dobrze

[scyth]

ok