Zmienna losowa X ma rozkład

[Wiewcia]

Hejo bardzo ale to bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu 2 zadań :
1.Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości p-stwa określonej wzorem :
\(\displaystyle{ F(X)= \begin{cases} 0 & -\infty < x < -0.5\pi \\ 0.5 \cos x & -0.5 \pi \le x \le 0.5\pi \\ 0 & 0.5\pi < x < \infty \end{cases}}\)

Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej, obliczyć \(\displaystyle{ P\left(\frac{\pi}{6} < X <\frac{ \pi}{4}\right), \ E(X), \ Me(X)}\).

2.Zmienna losowa X ma rozkład N(3,2). Obliczyć:
a) \(\displaystyle{ P(1< X <3)}\) b) \(\displaystyle{ P(X < 4)}\) c) \(\displaystyle{ P( |X-2| < 1)}\)

Z góry wielkie dzięki

[andy_rod]

1.gęstość zazwyczaj oznacza się małą literą, a dystrybuantę dużą
\(\displaystyle{ F(x)= \left\{\begin{array}{l} 0;\quad -\infty < x < -0.5\pi\\ \int_{-0.5\pi}^{x} 0.5 \cdot cost \mbox{d}t ; \quad -0.5\pi \le x \le 0.5\pi\\ 1 ;\quad 0.5\pi < x < \infty \end{array}}\)

\(\displaystyle{ P(\frac{ \pi}{6}<X<\frac{ \pi}{4})= \int_{\frac{ \pi}{6}}^{\frac{ \pi}{4}}0.5 \cdot cost \mbox{d}t}\)

\(\displaystyle{ E(X)=\int_{-\frac{ \pi}{2}}^{\frac{ \pi}{2}}0.5 \cdot t \cdot cost \mbox{d}t}\)

Jeśli przez Me(X) rozumiesz medianę to
\(\displaystyle{ F\left( Me(X)\right) =\frac{1}{2}}\) czyli \(\displaystyle{ Me(X)=0}\)

[kuch2r]

Odnośnie zadania drugiego:
\(\displaystyle{ \xi\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \iff \frac{\xi-\mu}{\sigma}\sim \mathcal{N}(0,1)}\)

[andy_rod]

2. tutaj przydadzą sie tablice, ewentualnie Excel?
a)X jest typu ciągłego więc
\(\displaystyle{ P(1< X <3)=P(X<3)-P(X< 1)=F(3)-F(1)}\)
jeśli N(3,2) oznacza rozkład normalny z wartością oczekiwaną 3 i odchyleniem standardowym 2 to
\(\displaystyle{ \approx 0,5-0,3085 \approx 0,1915}\)

b)\(\displaystyle{ P(X < 4)=F(4) \approx 0,691462461}\)

c)\(\displaystyle{ P(|X-2| < 1)\\P(-1<X-2<1)\\P(1<X<3)}\) i masz to samo co w a)

[shelby99]

Zadanie 2, podpunkt b) \(\displaystyle{ P(X<4) = P \left( \frac{4-3}{ \sqrt{2}} \right) = \phi \left(\frac{ \sqrt{2} }{2}\right) \approx 0,76}\) a nie 0,69... jak napisał poprzednik ;]