zmienna losowa

dondrapichrust · Post autor: **dondrapichrust** » 5 wrz 2010, o 18:12

Zmienna losowa X ma rozkład N(80,16). Proszę znaleść wartość \(\displaystyle{ x_{i}}\) spelniajace ponizsze warunki:
\(\displaystyle{ a) P(X < x_{1} ) = 0,0188}\)
\(\displaystyle{ b) P(X > x _{2} ) = 0,1635}\)
\(\displaystyle{ c) P(x _{4} < X < 108) = 0,1115}\)

Prosiłbym o pomoc w rozwiązaniu tego zadania
pozdrawiam

scyth · Post autor: **scyth** » 5 wrz 2010, o 18:32

Czy standaryzacja zmiennej losowej coś Ci mówi?

dondrapichrust · Post autor: **dondrapichrust** » 5 wrz 2010, o 20:00

nie wiele

scyth · Post autor: **scyth** » 5 wrz 2010, o 20:50

Bez tego będzie kiepsko i samo rozwiązanie nic Ci nie powie.
OK, w standaryzacji chodzi o to, że dowolny rozkład normalny o parametrach \(\displaystyle{ X \sim N(\mu,\sigma^2)}\) można przekształcić do standardowego rozkładu normalnego \(\displaystyle{ N(0,1)}\). Standardowy rozkład normalny jest stablicowany (mam nadzieję, że umiesz posługiwać się tablicami statystycznymi), dlatego jest to takie fajne. Operacja standardyzacji polega na odjęciu wartości oczekiwanej a następnie podzieleniu przez odchylenie standardowe:
\(\displaystyle{ X \sim N(\mu, \sigma^2) \Rightarrow \frac{X-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)}\)
Wracając do zadania (zrobię przykład a, ty zrób pozostałe i pokaż wynik):
\(\displaystyle{ P(X\le x_1 ) = 0,0188 \\
P \left(\frac{X-80}{4} \le \frac{x_1-80}{4} \right) = 0,0188 \\
\Phi \left(\frac{x_1-80}{4} \right) = 0,0188 = \Phi (-2,08)}\)
Ostatnia równość jest odczytana z , patrzę gdzie wartość w trzeciej kolumnie jest najbliższa 0,0188 i odczytuję z pierwszej kolumny, dla jakiej wartości argumentu jest ta wartość. Dalej:
\(\displaystyle{ \frac{x_1-80}{4} = -2,08 \\
x_1=-2,08 \cdot 4 + 80 = 71,68}\)

dondrapichrust · Post autor: **dondrapichrust** » 5 wrz 2010, o 21:54

ok, chwile mi zajelo wygrzebanie tablic

\(\displaystyle{ P(X > x _{2}) = 0,1635}\)
\(\displaystyle{ P( \frac{x-80}{4} > \frac{ x_{2}-80 }{4}) = 0,1635}\)
\(\displaystyle{ \\\Phi( \frac{ x_{2}-80 }{4}) = 0,1635 = \\\Phi(-0,98)}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=-0,98 \cdot 4 + 80 = 76,08}\)

_______________________
drugi:

\(\displaystyle{ P(x_{4} < X < 108) = 0,1115}\)
\(\displaystyle{ P( \frac{ x_{4}-80}{4} < \frac{X-80}{4} < 108) = 0,1115}\)
\(\displaystyle{ \\\Phi( \frac{ x_{4}-80}{4} ) = 0,1115 = \\\Phi(-1,22)}\)
\(\displaystyle{ x_{4}= -1,22 \cdot 4 + 80 = 75,12}\)

nie wiem czy w tym przykladzie do czegos potrzebna jest ta liczba 108?
masz podobne wyniki?
to koniec zadania czy cos trzeba z tymi 3 wynikami zrobic?

scyth · Post autor: **scyth** » 5 wrz 2010, o 21:57

oba źle, bo:
b) \(\displaystyle{ P(X>a) = 1-P(X<a)}\)
c) \(\displaystyle{ P(a<X<b) = P(X<b) - P(X<a)}\)

dondrapichrust · Post autor: **dondrapichrust** » 5 wrz 2010, o 22:50

b)
\(\displaystyle{ P(X > x_{2}) = 0,1635}\)
\(\displaystyle{ P(X > x_{2}) = 1 - P(X < x_{2})}\)
\(\displaystyle{ 0,1635 = 1 - P(X < x_{2})}\)
\(\displaystyle{ P(X< x_{2})=0,8365}\)
\(\displaystyle{ P( \frac{X- 80}{4} < \frac{ x_{2}-80}{4}) = 0,8365}\)
\(\displaystyle{ \\\Phi( \frac{ x_{2}-80}{4}) = 0,8365=\\\Phi(0,98)}\)
\(\displaystyle{ x_{2}=0,98 \cdot 4 + 80 = 83,92}\)

dobrze?
nie wiem za bardzo jak mam ugryźć ostatni

Ok poprawiłem, looknij teraz...

scyth · Post autor: **scyth** » 5 wrz 2010, o 23:01

jest git.
Ostatni tak samo, tylko standaryzację masz dwa razy. Ogólnie to jest tak:
\(\displaystyle{ P(a<X<b)=\alpha \\
P \left(\frac{a-\mu}{\sigma} < \frac{X-\mu}{\sigma} < \frac{b-\mu}{\sigma} \right) = \alpha \\
\Phi \left( \frac{b-\mu}{\sigma} \right) - \Phi\left( \frac{a-\mu}{\sigma} \right) = \alpha}\)

dondrapichrust · Post autor: **dondrapichrust** » 5 wrz 2010, o 23:40

\(\displaystyle{ \Phi( \frac{108-80}{4})-\Phi( \frac{ x_{4}-80}{4})=0,1115}\)
\(\displaystyle{ x_{4}=-1,22 \cdot 4 + 80 = 75,12}\)

i dalej poprostu podstawic i wyliczyc?

\(\displaystyle{ \Phi 7 - \Phi (-1,22) = 0,1115}\)
??
minus i minus to plus, wiec \(\displaystyle{ \Phi 8,22 = 0,1115}\) ? cos tu nie tak...

scyth · Post autor: **scyth** » 6 wrz 2010, o 00:18

Pierwsza linijka ok.
Potem pierwszy wyraz możesz wyliczyć (najpierw nawias i tablice).
Następnie poprzenoś tu i tam i masz to, co w poprzednich punktach.

dondrapichrust · Post autor: **dondrapichrust** » 6 wrz 2010, o 00:33

no dobra, w pierwszym nawiasie wychodzi 7, moje tablice siegaja jedynie +/-4.99, na googlach podobnie, co z tym fantem?

scyth · Post autor: **scyth** » 6 wrz 2010, o 09:35

Weź wartość dla 4.99, czyli 1 (więcej być nie może).

dondrapichrust · Post autor: **dondrapichrust** » 6 wrz 2010, o 13:15

\(\displaystyle{ \Phi1 - \Phi( \frac{x_{4}-80 }{4}) = 0,1115}\)
\(\displaystyle{ \Phi( \frac{x_{4}-80 }{4}) = 1 - 0,1115}\)
\(\displaystyle{ \Phi( \frac{x_{4}-80 }{4}) = 0,8885 = \Phi(1,22)}\)
\(\displaystyle{ x_{4} = 1,22 \cdot 4 + 80 = 84,88}\)

git?

scyth · Post autor: **scyth** » 6 wrz 2010, o 13:52

Tak, oprócz tego \(\displaystyle{ \Phi}\) na samym początku.

dondrapichrust · Post autor: **dondrapichrust** » 6 wrz 2010, o 14:34

dzieki, za pomoc -- 7 wrz 2010, o 18:15 --jedno pytanie do poprzedniego zadania dla upewnienia się: dla wszystkich wartości powyżej +/-4,99 daje 1?

Mam jeszcze jedno zadanie z rozkładem które nie wiem jak zacząć, mógłbyś naprowadzić?

Waga pewnych batoników (w gramach) ma rozkład normalny N(60,4)
a) jakie jest prawdopodobieństwo, ze waga batonika będzie mniejsza od 50g?
b) jaki procent batoników wazy ponad 66g?