rozkład normalny

[kaasiunia]

Z badań przeprowadzonych przez A.C. Nielsen Company wynika, że 10% amerykańskich dzieci w wieku 2-5 lat spędza przed telewizorem ponad 35,14 godziny tygodniowo, drugi kwartyl wynosi 27,15 godzin
tygodniowo, rozkład jest normalny.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrane dziecko ogląda telewizję od 22 do 23 godzin
tygodniowo?
b) Wylosowano próbę liczącą 201 dzieci. Jakie jest prawdopodobieństwo, że średni czas dla tej próby
przekroczy 26 godzin?
c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że dla tej próby (201 dzieci) łączny czas nie przekroczy 5555 godzin?

Bardzo proszę o pomoc, jutro mam kolokwium poprawkowe

[pajong8888]

Na wstępie trzeba wyznaczyć ten rozkład. Jeśli drugi kwartyl wynosi 27,15, to znaczy, że wartość oczekiwana zmiennej losowej oznaczającej czas przebywania przed telewizorem wynosi 27,15.
Trzeba wyznaczyć wariancję.
\(\displaystyle{ P(X\geq 35,14)=0,1}\)
Rozkład normalny jest rozkładem ciągłym, więc można aproksymować, że:
\(\displaystyle{ P(X\leq 35,14)=0,9\Rightarrow P(\frac{X-27,15}{\sigma}\leq \frac{7,99}{\sigma})=0,9}\)

Z tablic wyczytujemy dla jakiego t \(\displaystyle{ \Phi(t)=0,9}\). Niestety nie ma dokładnej wartości, jednakże przybliżę tutaj przez 1,28.
\(\displaystyle{ \frac{7,99}{\sigma}=1,28\Rightarrow \sigma \approx 6,24}\)

Mamy więc rozkład normalny \(\displaystyle{ \mathcal{N} (27,15;38,9376)}\)
//\(\displaystyle{ 38,9376=6,24^2}\)

-- 31 sie 2010, o 03:05 --

a)
\(\displaystyle{ P(22\leq X\leq 23) \approx P(-0,83\leq \frac{x-27,15}{6,24}\leq -0,67)=\Phi(-0,67)-\Phi(-0,83)=\Phi(0,83)-\Phi(0,67) \approx 0,79673-0,74857=0,04816}\)
Czyli niecałe 5%

-- 31 sie 2010, o 03:22 --

b)
\(\displaystyle{ P(\frac{ \sum_{i=1}^{201} X_i}{201}\geq 26) \approx 1- P(\frac{ \sum_{i=1}^{201} X_i}{201}\leq 26) \approx 1-P(\frac{\sum_{i=1}^{201} X_i - 201\cdot 27,15}{6,24\sqrt{201}}\leq -2,61)=*}\)
Tu uwaga skorzystam z Centralnego Twierdzenia Granicznego , jako że próba licząca 201 jest dużą próbą i można aproksymować stosując to jakże ważne twierdzenie.
\(\displaystyle{ *=1-\Phi(-2,61)=\Phi(2,61) \approx 0,99547}\)

-- 31 sie 2010, o 03:32 --

c)\(\displaystyle{ P( \sum_{i=1}^{201} X_i \leq 5555) \approx P(\frac{\sum_{i=1}^{201} X_i-201\cdot 27,15}{6,24\sqrt{201}}\leq 1,11) \approx \Phi(1,11) \approx 0,86650}\)
Uwaga: Tutaj wszystkie wyniki są ścisłymi przybliżeniami. Tablica dystrybuanty standardowego rozkładu normalnego podaje przybliżenia prawdziwych wartości, które nie da się dokładnie obliczyć. Kto ma Wolfram Mathematice niech spróbuje obliczyć całkę z \(\displaystyle{ e^{-x^2}}\) (nieoznaczoną oczywiście)

Jeżeli przeczytałaś ten post przed kolokwium, to życzę Ci powodzenia. Jeżeli nie, to mam nadzieję, że w dobrym humorze przeczytałaś ten post:)

[kaasiunia]

dzięki wielkie, że napisałeś o tej godzinie, zdażę jeszcze ogarnąć to zadanie -- 31 sie 2010, o 08:09 --Mam jeszcze pytanie. Dlaczego odchylenie standardowe podnosimy do kwadratu?

[pajong8888]

To jest tylko zapis, zazwyczaj rozkład normalny podaje się w parametrach \(\displaystyle{ \mathcal{N} (m,\sigma^2)}\)
Podniosłem tylko dla pokazania rozkładu zmiennej losowej. Choć mnie dziwi, że na wikipedii jest napisane \(\displaystyle{ \mathcal{N} (m,\sigma)}\), ponieważ na wykładach, a przede wszystkim w książce Jakubowskiego i Sztencla oznacza się tak jak ja powyżej napisałem. Jest oczywiście to tylko mało znaczący zapis, jeśli wiadomo o co chodzi. Mimo wszystko standardowo się podaje wariancję, nie odchylenie standardowe, a w tym punkcie wikipedia się myli.