centralne twier. graniczne (Psyk)

[przeme8]

Zmienne losowe i X są niezalezne i mają jednakowe rozkłady \(\displaystyle{ \{Xi = x_{j}\}= 0,25}\) dla \(\displaystyle{ j =1,2,3,4}\). Jakie
jest prawdopodobieństwo, ze z wylosowanej 156 - elementowej próby:
a) suma przyjmie wartość większą od \(\displaystyle{ 344}\),
b) średnia arytmetyczna z wylosowanej próby znajdzie się w przedziale \(\displaystyle{ (2,51 ; 2,52)}\) ,
c) średnia arytmetyczna z wylosowanej próby nie przekroczy \(\displaystyle{ 2,8}\) ?

[pyzol]

\(\displaystyle{ \mathcal{E}(X_i)=2.5=\mu\\
Var(X_i)=\frac{5}{4}=\sigma^2\\
\sigma=\sqrt{5/4}\\
P \left( \sum_{i=1}^{156}X_i>344 \right) =P\left(\sum_{i=1}^{156}X_i - 156\cdot2.5>344-156\cdot2.5\right)=\\
=P\left(\frac{\sum_{i=1}^{156}X_i -390}{\sqrt{5\cdot 156/4}}>\frac{-44}{\sqrt{5\cdot 156/4}}\right)=P(Y>\frac{-44}{\sqrt{195}})}\)
Na mocy ctg mozemy przyjac, ze Y w przyblizeniu ma rozklad \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0,1)}\). Mozemy tez za dobre przyblizenie pierwiastka przyjac 16.
\(\displaystyle{ P(Y>\frac{-44}{16})=1-P(Y<\frac{-11}{4}) \approx 1-\Phi (-2,75)}\)
Pozostale przyklady, mozna zrobic podobnie, zamiast przedzialow na srednia, mozemy podac przedzialy na sumy.

[przeme8]

jak obliczyłeś \(\displaystyle{ \mu}\) i wariancje z jakiego wzoru?

[Kamil_B]

Rozkład \(\displaystyle{ X_{i}}\) jest dyskretny więc tutaj \(\displaystyle{ \mathcal{E}(X_{i})=\frac{1}{4}(1+2+3+4)}\)(mnożymy po prostu wartości przez odpowiadajace im prawdopodobieństwa)
Natomiast \(\displaystyle{ Var(X_{i})=\mathcal{E}(X_{i} ^2)-(\mathcal{E}(X_{i}))^{2}}\)( gdzie \(\displaystyle{ X_{i} ^2}\) przyjmuje oczywiście wartości \(\displaystyle{ 1,4,9,16}\) z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{4}}\)każda)