Próba \(\displaystyle{ (X_1, \dots, X_n)}\) jest próbą prostą z populacji o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N(\mu, \sigma)}\). Dobrać stałą \(\displaystyle{ k}\) w ten sposób, aby estymator
\(\displaystyle{ \Theta_n = k \sum_{i=1}^n |X_i - \overline{X}|}\) był nieobciążonym estymatorem parametru \(\displaystyle{ \sigma}\). Mój problem leży w tym, że jak liczę wartość oczekiwaną to nie mam zielonego pojęcia jak się zabrać za moduł... Proszę o pomoc..
moduł w wartości oczekiwanej
-
Majorkan
- Użytkownik
- Posty: 128
- Rejestracja: 14 paź 2007, o 18:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków/Jasło
- Podziękował: 13 razy
- Pomógł: 33 razy
moduł w wartości oczekiwanej
Mój pomysł byłby taki:
Skorzystamy z faktu, że jeśli \(\displaystyle{ X \sim N(\mu, \sigma^2)}\) i \(\displaystyle{ Y \sim N(\nu, \tau^2)}\) oraz są to zmienne niezależne, to \(\displaystyle{ Z = X + Y \sim N(\mu + \nu, \sigma^2 + \tau^2)}\) a także tego, że \(\displaystyle{ D^2(mX)=m^2D^2(X)}\).
Korzystając z tych faktów możemy stwierdzić, że dla każdego \(\displaystyle{ i}\):
\(\displaystyle{ X_i-\overline{X} \sim N(0,\frac{\sigma^2}{n^2}n(n-1))}\).
Teraz liczymy wartość oczekiwaną:
\(\displaystyle{ E(|X_i-\overline{X}|)=\int_{-\infty}^{+\infty} |x|\frac{n}{\sqrt{2\pi}\sigma \sqrt{n(n-1)}}\mbox{exp}(-\frac{1}{2}\frac{x^2n^2}{\sigma^2n(n-1)}) \mbox{d}x}\)
A to da się już policzyć (funkcja jest parzysta więc możemy się pozbyć modułu, pomnożyć przez 2 i całkować od zera i potem robimy podstawienie za to co jest argumentem \(\displaystyle{ \mbox{exp}}\)).
Skorzystamy z faktu, że jeśli \(\displaystyle{ X \sim N(\mu, \sigma^2)}\) i \(\displaystyle{ Y \sim N(\nu, \tau^2)}\) oraz są to zmienne niezależne, to \(\displaystyle{ Z = X + Y \sim N(\mu + \nu, \sigma^2 + \tau^2)}\) a także tego, że \(\displaystyle{ D^2(mX)=m^2D^2(X)}\).
Korzystając z tych faktów możemy stwierdzić, że dla każdego \(\displaystyle{ i}\):
\(\displaystyle{ X_i-\overline{X} \sim N(0,\frac{\sigma^2}{n^2}n(n-1))}\).
Teraz liczymy wartość oczekiwaną:
\(\displaystyle{ E(|X_i-\overline{X}|)=\int_{-\infty}^{+\infty} |x|\frac{n}{\sqrt{2\pi}\sigma \sqrt{n(n-1)}}\mbox{exp}(-\frac{1}{2}\frac{x^2n^2}{\sigma^2n(n-1)}) \mbox{d}x}\)
A to da się już policzyć (funkcja jest parzysta więc możemy się pozbyć modułu, pomnożyć przez 2 i całkować od zera i potem robimy podstawienie za to co jest argumentem \(\displaystyle{ \mbox{exp}}\)).