wartość oczekiwana

[inka2103]

Mam prośbę, czy ktoś mógłby mi napisać jak policzyć wartość oczekiwaną: \(\displaystyle{ E(1 / \sum_{i=1}^n X_i)}\)

[luka52]

Zmienne \(\displaystyle{ X_i}\) są z jakiegoś konkretnego rozkładu czy dowolnego?

[inka2103]

Wydaje mi się, że z dowolnego. W zadaniu było napisane, że to próba z rozkładu o gęstości \(\displaystyle{ f(x) = \frac{\theta^{k+1} x^k e^{-\theta x}}{\Gamma (k+1)}}\) dla \(\displaystyle{ x >0}\) oraz \(\displaystyle{ f(x) = 0}\) dla \(\displaystyle{ x <= 0}\)

[luka52]

Czyli jest to rozkład : \(\displaystyle{ X_i \sim \Gamma (k+1, \tfrac{1}{\theta})}\) i \(\displaystyle{ X = X_1 + \ldots + X_n \sim \Gamma (n(k+1), \tfrac{1}{\theta})}\).
Do policzenia zostanie całka:

\(\displaystyle{ \mathbb{E} \left( \frac{1}{X} \right) = \int_0^{+\infty} \frac{1}{x} \cdot x^{n(k+1) - 1} \frac{ \theta^{n(k+1)} e^{-\theta x}}{\Gamma (n(k+1)) } \;\mbox d x}\)

[inka2103]

Mam jeszcze jeden problem. Próba \(\displaystyle{ (X_1, \dots, X_n)}\) jest próbą prostą z populacji o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N(\mu, \sigma)}\). Dobrać stałą \(\displaystyle{ k}\) w ten sposób, aby estymator
\(\displaystyle{ \Theta_n = k \sum_{i=1}^n |X_i - \overline{X}|}\) był nieobciążonym estymatorem parametru \(\displaystyle{ \sigma}\). Mój problem leży w tym, że jak liczę wartość oczekiwaną to nie mam zielonego pojęcia jak się zabrać za moduł...