test t-studenta, współczynnik korelacji Spearmana, wariancje

[nirkate]

Witam,
mam prośbę dotyczącą sprawdzenia oraz rozwiązania kilku zadań.

Zacznę może od zadań do sprawdzenia:

Zad. 1. IQ studentów pewnej uczelni jest zmienną losową o rozkładzie normalnym i średniej \(\displaystyle{ \mu=110}\) i odchyleniu standardowym \(\displaystyle{ \sigma=20}\). Losujemy 100 studentów z tej uczelni. Określ w przybliżeniu ilu studentów tej uczelni będzie miało IQ w przedziale od 90 do 130.

\(\displaystyle{ z=\frac{x-\mu}{\sigma}\\
z=\frac{130-110}{20}=1 \ -> \ 0,8413\\
1-0,84=0,16\\
0,5-0,16=0,34 \approx 34 osoby}\)


Zad. 2. Wiadomo, że wartość ciśnienia krwi w mm Hg u osób starszych jest zmienną losową o rozkładzie normalnym o średniej \(\displaystyle{ \mu}\) i odchyleniu standardowym \(\displaystyle{ \sigma}\). Wybrano losowo 25 osób starszych i otrzymano następujące wyniki pomiarów ciśnienia: \(\displaystyle{ \overline{x}=155}\) oraz \(\displaystyle{ s=5}\) (w mm Hg). Czy na poziomie istotności 0,05 można twierdzić, że średni poziom ciśnienia u starszych osób wynosi \(\displaystyle{ \mu=160}\)?

z obliczeń:
\(\displaystyle{ t= \sqrt{n} * \frac{x-\mu}{s} = \sqrt{25} * \frac{155-160}{5} = -5}\)

z tablic:
\(\displaystyle{ t=n-1=25-1=24}\)
z testu t-studenta dla 24, 0.05 = \(\displaystyle{ 2}\)

tylko nie wiem, czy to wchodzi w obszar odrzuceń, czy przyjęć...


Zad. 3. Wykorzystując dane w zadaniu 2 określ 95% przedział ufności dla średniego poziomu ciśnienia osób starszych.
\(\displaystyle{ z}\) z tablic = 1,96
\(\displaystyle{ [\overline{x}-z* \frac{\sigma}{ \sqrt{n} }, \overline{x}+z* \frac{\sigma}{ \sqrt{n} }] \\
155-1,96* \frac{5}{ \sqrt{25} }, 155-1,96* \frac{5}{ \sqrt{25} } \\
155-1,96 , 155+1,96}\)

Zad. 4. W wylosowanej niezależnej próbce 81 szpitali zbadano koszty własne wykonania pewnego zabiegu. Z wyników próbki otrzymano \(\displaystyle{ \overline{x}=540zł}\) oraz \(\displaystyle{ \sigma=150zł}\). Na poziomie istotności 0.05 zweryfikuj hipotezę, że średnie koszty własne w populacji szpitali są równe 500 zł.

z obliczeń:
\(\displaystyle{ t= \sqrt{n} * \frac{\overline{x}-\mu}{\sigma} = \sqrt{81} * \frac{540-500}{150} = 2,4}\)

z tablic:
\(\displaystyle{ t=n-1=81-1=80}\)
z testu t-studenta dla 80, 0.05 = \(\displaystyle{ 1,99}\)

tylko znowu nie wiem, czy to wchodzi w obszar odrzuceń, czy przyjęć...


Zad. 5. Masa ciała 15 pacjentów w kg przedstawiona została poniżej w tabeli kontyngencji. Oblicz wariancję i odchylenie standardowe masy ciała badanych pacjentów.
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{c|c|c|c}
45-55 & 55-65 & 65-75 & 75-85 \\
2 & 3 & 9 & 1 \\
\end{tabular}}\)

\(\displaystyle{ \overline{x}= \frac{2*50+3*60+9*70+80}{15}=66}\)

wariancja
\(\displaystyle{ \quad D^{2}X=\frac{1}{15}*[\quad (50-66)^{2} *2 + \quad (60-66)^{2} *3 + \quad (70-66)^{2} *9 + \quad (80-66)^{2} *1] \\
\quad D^{2}X=208}\)

odchylenie
\(\displaystyle{ DX= \sqrt{\quad D^{2}X} =14,42}\)

Zad. 6. Wiadomo, że 7% populacji choruje na choroby alergiczne. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród 10 wylosowanych osób dokładnie 5 osób będzie chorowało na alergie.

\(\displaystyle{ p(k)={n\choose k}*\quad p^{k} * \quad (1-p)^{n-k} \\
p(k)= \frac{20!}{(20-5)!5!}*\quad(0,07)^{5}*\quad(1-0,07)^{20-15} \\
p(k)=0,008774 \approx 0,87 \% \\}\)
.
.
.
.
.
A teraz zadania, których nie umiem zrobić:)

Zad. 7. Weryfikujemy testem t-studenta przy założonym poziomie istotności równym 0,05 hipotezę, że średnia badanej cechy wynosi 1 tzn. \(\displaystyle{ H_0:\mu = 1}\). Na podstawie danych wyznaczono wartość statystyki testowej i obliczono jej p-wartość, która wyniosła 0,15. Czy weryfikowaną hipotezę zerową powinniśmy odrzucić?

Zad. 8. Oblicz współczynnik korelacji Spearmana pomiędzy zaobserwowaną liczbą gatunków drzew (X): 2, 5, 8, 9, 10 i liczbą gatunków ptaków (Y): 3, 2, 7, 8, 9.

Zad. 9.
Zastosowanie testu t-Studenta dla prób niepowiązanych (równe wariancje, duże próby)
W dwóch niezależnych próbach badano wysokość ciała. Próbki liczące \(\displaystyle{ n_1=98}\) i \(\displaystyle{ n_2=100}\) pobrane zostały z populacji najlepszych tenisistów świata (w latach: 1975 i 1985).
W wyniku wstępnych obliczeń otrzymano średnie i wariancje próbkowe:
\(\displaystyle{ \overline{x_1}=181,2 \\
\overline{x_2}=183,3 \\
\quad s^{2}_1=34,1 \\
\quad s^{2}_2=43,5}\)

Pytanie badawcze. Czy na podstawie powyższych danych można twierdzić, że średnie wysokości ciała w porównywanych populacjach różnią się istotnie?
Do porównań użyj poziomów istotności 0.01 i 0.05 oraz przyjmij, że badana cecha ma rozkład normalny w obu populacjach o tej samej wariancji (jednorodne populacje).

Zad. 10. Wygenerować 100 danych z rozkładu t-Studenta o 15 stopniach swobody. Narysować histogram wraz z gęstością rozkładu oraz wykonać drugi rysunek zawierający dystrybuantę tego rozkładu wraz z dystrybuantą empiryczną.

Za każdą, nawet najdrobniejszą pomoc, z góry serdecznie dziękuję:)

[jagoda1188]

Zad.2
\(\displaystyle{ m_0=160}\)
\(\displaystyle{ H_0:m=160}\)
\(\displaystyle{ H_1:m \neq 160}\)

\(\displaystyle{ t=\frac{x-m_0}{s} \sqrt{n-1}=-4,9}\)

\(\displaystyle{ t_\alpha=2,06}\)

\(\displaystyle{ P(|t| \ge t_\alpha)= \alpha}\)

U nas
\(\displaystyle{ t<t_\alpha}\) zatem nie ma podstaw do odrzucenia \(\displaystyle{ H_0}\) i wnioskujemy, ze poziom cisnienia jest sredni.