średnia harmoniczna i geometryczna
-
agnieszka19192
- Użytkownik
- Posty: 164
- Rejestracja: 28 wrz 2009, o 20:10
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Krakow
średnia harmoniczna i geometryczna
Srednią harmoniczna liczb \(\displaystyle{ a>0 i b>0}\) nazywamy liczbę \(\displaystyle{ \frac{2}{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} }}\). wykaż że średnia harmoniczna jest nie większa od średniej geometrycznej
-
JakimPL
- Użytkownik
- Posty: 2401
- Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 459 razy
średnia harmoniczna i geometryczna
\(\displaystyle{ \frac{2}{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} } \le \sqrt{ab}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{ \frac{b}{ab}+ \frac{a}{ab} } \le \sqrt{ab}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2ab}{a+b} \le \sqrt{ab}}\)
\(\displaystyle{ 2ab \le \sqrt{ab}(a+b)}\)
\(\displaystyle{ 2ab \le a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}}\)
\(\displaystyle{ 0 \le a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab} - 2ab}\)
\(\displaystyle{ 0 \le a+b - 2\sqrt{ab}}\)
\(\displaystyle{ 0 \le (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}\)
\(\displaystyle{ \frac{2}{ \frac{b}{ab}+ \frac{a}{ab} } \le \sqrt{ab}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2ab}{a+b} \le \sqrt{ab}}\)
\(\displaystyle{ 2ab \le \sqrt{ab}(a+b)}\)
\(\displaystyle{ 2ab \le a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}}\)
\(\displaystyle{ 0 \le a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab} - 2ab}\)
\(\displaystyle{ 0 \le a+b - 2\sqrt{ab}}\)
\(\displaystyle{ 0 \le (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}\)