oszacować liczbę ryb w stawie

[olka_k]

W stawie pływa nieznana liczba ryb, w tym 20 ryb jest oznaczonych. Podczas odłowu 30
ryb znaleziono 5 znaczonych. Oszacować liczbę ryb w stawie, zakładając, że jest to taka liczba N,
dla której nasz wynik jest najbardziej prawdopodobny.

[kopson]

30 ryb odłowiono
5 oznaczonych

20 - 5 = 15 zostaje na pewno 15 ryb oznaczonych. to jest pewniak

[olka_k]

czyli że niby odpowiedź to jest 15?:D przede wszystkim to ja myślę, że chodzi o liczbę ryb przed odłowem, tzn. tą wyjściową. a nawet gdyby, to 15 to chyba nie jest pewniak w sensie prawdopodobieństwa? to jest tylko liczba minimalna, pewna, która to spełnia, ale to nie jest równoważne, że liczb ta jest najbardziej prawdopodobna......

[achillles]

pierwsze co przychodzi mi na myśl to :

\(\displaystyle{ \frac{20}{n+20} = \frac{5}{30}}\)
ładnie wychodzi sto. Ale nie jestem pewny. Chyba, że masz odpowiedzi i jest 100 to wtedy jestem pewniejszy

[olka_k]

niestety nie mam odpowiedzi ... wiem tylko, że to nie jest 120, które mi przyszło pierwsze na myśl
a czemu to 20 dzielisz przez n+20? czy te 20 znaczonych ryb nie jest już w n?

Dzięki za podjęcie tematu, bo to zadanie mnie męczy już tydzień...

[achillles]

a nie .. sam namieszałem. z tego co tutaj napisałem to właśnie wychodzi 120 wszystkich, a 100 nieoznaczonych
może zaraz coś wymyślę

moim zdaniem trzeba by policzyć:

\(\displaystyle{ \frac{5}{30} = \frac{ {20 \choose 5} {n \choose 25} }{ {n \choose 30} }}\)

[olka_k]

też nad tym myślałam, tylko chyba w wersji
\(\displaystyle{ \frac{5}{30}= \frac{ {20 \choose 5} {n-20 \choose 25} }{ {n \choose 30} }}\)
tylko wtedy obliczenia robią się straszliwe, ale skoro już dwie głowy tak uważają, to może faktycznie tędy droga?....

[achillles]

tak, dokładnie, z tym (n-20) obliczenia robią się straszne dlatego nie obliczałem tego ...
niby jest rozkład Poissona , może z tego trzeba by skorzystać. n jest większe od 30, więc przynajmniej jedno założenie jest już spełnione. Ale czy za prawdopodobieństwo sukcesu przyjąć 1/6 to już nie wiem.

[anule3ka96]

n - liczba wszystkich ryb w stawie
20 - liczba ryb oznaczonych
n - 20 - liczba ryb nieoznaczonych
\(\displaystyle{ {n \choose 30}}\) - liczba wszystkich odłowów

Podczas odłowów było 30 ryb (5 oznaczonych i 25 nieoznaczonych)

\(\displaystyle{ L(n) = \dfrac{{20 \choose 5} \cdot {n-20 \choose 25}}{{n \choose 30}} = {20 \choose 5} \cdot \dfrac{(n-20)!}{25!\cdot (n-45)!} \cdot \dfrac{(n-30)!\cdot 30!}{n!}}\)

Pomijamy stałe:
\(\displaystyle{ \stackrel{\sim}{L(n)} = \dfrac{(n-20)!\cdot (n-30)!}{(n-45)! \cdot n!}}\)

\(\displaystyle{ \dfrac{a_{n+1}}{a_n} > 1}\)

\(\displaystyle{ \dfrac{(n-20)!\cdot (n-19)\cdot (n-30)! \cdot (n-29)}{(n-45)! \cdot (n-44) \cdot n! \cdot (n+1)} \cdot \dfrac{(n-45)! \cdot n!}{(n-20)!\cdot (n-30)!}= \dfrac{(n-19)(n-29)}{(n-44)(n+1)}}\)

\(\displaystyle{ \dfrac{(n-19)(n-29)}{(n-44)(n+1)} > 1}\)
\(\displaystyle{ (n-19)(n-29)> (n-44)(n+1)}\)
\(\displaystyle{ n^2-48n+551>n^2-43n-44}\)
\(\displaystyle{ -5n> -595 \ \ |:(-5)}\)
\(\displaystyle{ n<119}\)

Odp: Mamy pewność dla 120 ryb w stawie.

[a4karo]

Odp: Mamy pewność dla 120 ryb w stawie.

Pewność czego?

[anule3ka96]

Pewność czego?

Pewność, że na pewno tyle ryb jest w stawie.

[a4karo]

Uważasz, że gdyby ich było np. 70, to by się nie dało wyłowić 30, w tym 5 oznaczonych?