Estymator - metoda najwiekszej wiarygonosci

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
Awatar użytkownika
solmech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 811
Rejestracja: 10 gru 2008, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 20 razy

Estymator - metoda najwiekszej wiarygonosci

Post autor: solmech »

Witam,

mam maly problem z ta metoda. Mianowicie nie wiem jak dokladnie wyznaczyc funkcje wiarygodnosci. Reszta nie sprawia mi wiekszych problemow.

Przyklad

\(\displaystyle{ f _{\theta}(x) = \begin{cases} \frac{2}{\theta}x \exp(- \frac{1}{2}x^2) \ dla \ x > 0 \\ 0 \ dla \ x \le 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ L(\theta ; x _{1},...,x _{n}) = f _{\theta}(x _{1}) \cdot ... \cdot f _{\theta}(x _{n}) \ \theta \in \Theta}\)

Teraz krok ktorego nie rozumiem:

\(\displaystyle{ L(\theta ; x _{1},...,x _{n}) = (\frac{2}{\theta})^n \cdot (\prod_{i=1}^{n}x _{i}) \cdot e^{- \frac{1}{\theta} \cdot \sum_{i = 1}^{n}x _{i}^2}\)

I jeszcze jak by ktos mogl krok po kroku rozpisac logarytmowanie, to bylbym bardzo wdzieczny.

\(\displaystyle{ \ln L(\theta ; x _{1},...,x _{n}) = n \ln 2 - n \ln \theta + \sum_{i=1}^{n} \ln x _{i} - \frac{1}{\theta}\sum_{i = 1}^{n}x _{i}^2}\)

Dziekuje z gory.
mkb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 244
Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 47 razy

Estymator - metoda najwiekszej wiarygonosci

Post autor: mkb »

Sprawdź dobrze funkcję gęstości, w wykładniku brakuje gdzieś \(\displaystyle{ \theta}\) (nie sprawdzałem obliczeń, ale jeżeli wzór na funkcję wiarygodności jest poprawny, to powinna być w mianowniku, zamiast 2).
Przy tym samym założeniu logarytm jest ok - z definicji, logarytm iloczynu to suma logarytmów, wzór na logarytm funkcji wykładniczej (i logarytm potęgi) też chyba znasz.
Awatar użytkownika
solmech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 811
Rejestracja: 10 gru 2008, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 20 razy

Estymator - metoda najwiekszej wiarygonosci

Post autor: solmech »

Tak, masz oczywiscie racje, prawidlowa funkcja gestosci brzmi:

\(\displaystyle{ f _{\theta}(x) = \begin{cases} \frac{2}{\theta}x \e^{- \frac{1}{\theta}x^2} \ dla \ x > 0 \\ 0 \ dla \ x \le 0 \end{cases}}\)

Nadal jednak nie wiem jak przejsc z funkcji gestosci do funkcji wiarygodnosci. Jest na to jakis wzor?

Bardzo prosze o pomoc, sprawa jest calkiem pilna, bo jutro mam egzamin.

Pozdrawiam i dziekuje z gory.
Tomek
mkb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 244
Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 47 razy

Estymator - metoda najwiekszej wiarygonosci

Post autor: mkb »

Tak jak we wzorze z pytania: mając n wyników i rozkład liczysz łączne prawdopodobieństwo (lub tu gęstość prawdopodobieństwa) realizacji wyniku jako iloczyn prawdopodobieństw pojedynczych wyników. Dalej zakładamy, że został zrealizowany przypadek najbardziej prawdopodobny (lub o największej gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu ciągłego) i wyznaczamy, dla jakiego parametru (parametrów) rozkładu jest spełnione to założenie.
Awatar użytkownika
solmech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 811
Rejestracja: 10 gru 2008, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 20 razy

Estymator - metoda najwiekszej wiarygonosci

Post autor: solmech »

Niestety za bardzo nie rozumiem...
suwak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 6 lis 2004, o 21:08
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 9 razy

Estymator - metoda najwiekszej wiarygonosci

Post autor: suwak »

Metoda największej wiarygodności zakłada że to co obserwujemy, to coś co ma największą szanse zaistnieć. Czyli, że to co obserwujemy jest typowe dla zjawiska, że mamy dobrą reprezentację.

Teraz korzystamy z niezależności prób - skoro są niezależne to ich łączna gęstość to iloczyn gęstości. Skoro wszystkie mają ten sam rozkład to wszystkie mają te same parametry a różnią się argumentem - wynikiem doświadczenia.

Dlatego wszędzie jest to samo \(\displaystyle{ \theta}\) a zamiast \(\displaystyle{ x[ ex] jest \(\displaystyle{ x_i[ ex] czyli wynik i-tego doświadczenia.}\)}\)
Awatar użytkownika
solmech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 811
Rejestracja: 10 gru 2008, o 17:12
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 76 razy
Pomógł: 20 razy

Estymator - metoda najwiekszej wiarygonosci

Post autor: solmech »

Bardzo dziekuje
ODPOWIEDZ