Witam,
mam maly problem z ta metoda. Mianowicie nie wiem jak dokladnie wyznaczyc funkcje wiarygodnosci. Reszta nie sprawia mi wiekszych problemow.
Przyklad
\(\displaystyle{ f _{\theta}(x) = \begin{cases} \frac{2}{\theta}x \exp(- \frac{1}{2}x^2) \ dla \ x > 0 \\ 0 \ dla \ x \le 0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ L(\theta ; x _{1},...,x _{n}) = f _{\theta}(x _{1}) \cdot ... \cdot f _{\theta}(x _{n}) \ \theta \in \Theta}\)
Teraz krok ktorego nie rozumiem:
\(\displaystyle{ L(\theta ; x _{1},...,x _{n}) = (\frac{2}{\theta})^n \cdot (\prod_{i=1}^{n}x _{i}) \cdot e^{- \frac{1}{\theta} \cdot \sum_{i = 1}^{n}x _{i}^2}\)
I jeszcze jak by ktos mogl krok po kroku rozpisac logarytmowanie, to bylbym bardzo wdzieczny.
\(\displaystyle{ \ln L(\theta ; x _{1},...,x _{n}) = n \ln 2 - n \ln \theta + \sum_{i=1}^{n} \ln x _{i} - \frac{1}{\theta}\sum_{i = 1}^{n}x _{i}^2}\)
Dziekuje z gory.
Estymator - metoda najwiekszej wiarygonosci
-
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 47 razy
Estymator - metoda najwiekszej wiarygonosci
Sprawdź dobrze funkcję gęstości, w wykładniku brakuje gdzieś \(\displaystyle{ \theta}\) (nie sprawdzałem obliczeń, ale jeżeli wzór na funkcję wiarygodności jest poprawny, to powinna być w mianowniku, zamiast 2).
Przy tym samym założeniu logarytm jest ok - z definicji, logarytm iloczynu to suma logarytmów, wzór na logarytm funkcji wykładniczej (i logarytm potęgi) też chyba znasz.
Przy tym samym założeniu logarytm jest ok - z definicji, logarytm iloczynu to suma logarytmów, wzór na logarytm funkcji wykładniczej (i logarytm potęgi) też chyba znasz.
- solmech
- Użytkownik
- Posty: 811
- Rejestracja: 10 gru 2008, o 17:12
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 76 razy
- Pomógł: 20 razy
Estymator - metoda najwiekszej wiarygonosci
Tak, masz oczywiscie racje, prawidlowa funkcja gestosci brzmi:
\(\displaystyle{ f _{\theta}(x) = \begin{cases} \frac{2}{\theta}x \e^{- \frac{1}{\theta}x^2} \ dla \ x > 0 \\ 0 \ dla \ x \le 0 \end{cases}}\)
Nadal jednak nie wiem jak przejsc z funkcji gestosci do funkcji wiarygodnosci. Jest na to jakis wzor?
Bardzo prosze o pomoc, sprawa jest calkiem pilna, bo jutro mam egzamin.
Pozdrawiam i dziekuje z gory.
Tomek
\(\displaystyle{ f _{\theta}(x) = \begin{cases} \frac{2}{\theta}x \e^{- \frac{1}{\theta}x^2} \ dla \ x > 0 \\ 0 \ dla \ x \le 0 \end{cases}}\)
Nadal jednak nie wiem jak przejsc z funkcji gestosci do funkcji wiarygodnosci. Jest na to jakis wzor?
Bardzo prosze o pomoc, sprawa jest calkiem pilna, bo jutro mam egzamin.
Pozdrawiam i dziekuje z gory.
Tomek
-
- Użytkownik
- Posty: 244
- Rejestracja: 5 paź 2009, o 16:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 47 razy
Estymator - metoda najwiekszej wiarygonosci
Tak jak we wzorze z pytania: mając n wyników i rozkład liczysz łączne prawdopodobieństwo (lub tu gęstość prawdopodobieństwa) realizacji wyniku jako iloczyn prawdopodobieństw pojedynczych wyników. Dalej zakładamy, że został zrealizowany przypadek najbardziej prawdopodobny (lub o największej gęstości prawdopodobieństwa dla rozkładu ciągłego) i wyznaczamy, dla jakiego parametru (parametrów) rozkładu jest spełnione to założenie.
Estymator - metoda najwiekszej wiarygonosci
Metoda największej wiarygodności zakłada że to co obserwujemy, to coś co ma największą szanse zaistnieć. Czyli, że to co obserwujemy jest typowe dla zjawiska, że mamy dobrą reprezentację.
Teraz korzystamy z niezależności prób - skoro są niezależne to ich łączna gęstość to iloczyn gęstości. Skoro wszystkie mają ten sam rozkład to wszystkie mają te same parametry a różnią się argumentem - wynikiem doświadczenia.
Dlatego wszędzie jest to samo \(\displaystyle{ \theta}\) a zamiast \(\displaystyle{ x[ ex] jest \(\displaystyle{ x_i[ ex] czyli wynik i-tego doświadczenia.}\)}\)
Teraz korzystamy z niezależności prób - skoro są niezależne to ich łączna gęstość to iloczyn gęstości. Skoro wszystkie mają ten sam rozkład to wszystkie mają te same parametry a różnią się argumentem - wynikiem doświadczenia.
Dlatego wszędzie jest to samo \(\displaystyle{ \theta}\) a zamiast \(\displaystyle{ x[ ex] jest \(\displaystyle{ x_i[ ex] czyli wynik i-tego doświadczenia.}\)}\)