Estymator - nie rozumiem jednego kroku

[solmech]

Witam serdecznie,

prosze o pomoc w nastepujacym zadaniu.

Dla \(\displaystyle{ \theta > 0}\) jest \(\displaystyle{ X _{1},X _{2},....}\) niezaleznym ciagiem zmiennych losowych.

Rozklad jednostajny \(\displaystyle{ R(0,\theta)}\)

Pokazac ze da kazdego \(\displaystyle{ n}\)

\(\displaystyle{ T _{n}(X _{1},X _{2},...,X _{n}) = \frac{2}{n}(X _{1}+X _{2}+...+X _{n}) \\ \tau(\theta) = \theta}\)

Rozwiazanie

Dla wszystkich \(\displaystyle{ \theta > 0}\) : \(\displaystyle{ E _{\theta}(X _{i}) = \frac{\theta}{2} \
i = 1,2,...,n}\)

Skad to sie bierze??

Reszte rozwiazania rozumiem.

\(\displaystyle{ E _{\theta}(T _{n}(X _{1},X _{2},...,X _{n})) = E _{\theta}(\frac{2}{n}(X _{1}+X _{2}+...+X _{n}))}\)

\(\displaystyle{ = \frac{2}{n}(E _{\theta}(X _{1})+E _{\theta}(X _{2})+...+E _{\theta}(X _{n}))}\)

\(\displaystyle{ = \frac{2}{n}n \frac{\theta}{2} = \theta}\)

Pozdrawiam
Tomek

[bstq]

\(\displaystyle{ E\left[X\right]=\int_{0}^{\theta}\frac{1}{\theta-0}xdx=\frac{1}{\theta}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{\theta}=\frac{1}{\theta}\frac{\theta^{2}}{2}=\frac{\theta}{2},\; X\sim\mathcal{U}\left[0,\theta\right]}\)

[solmech]

Dziekuje juz wszystko zrozumialem!

-- 28 lutego 2010, 21:36 --

Jeszcze musze obliczyc wariancje.

Znam \(\displaystyle{ E(X) = \frac{\theta}{2}}\)

\(\displaystyle{ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2}\)

Jednak nie iem jak to podstawic.

Rozwiazanie ma byc:

\(\displaystyle{ Var _{\theta}(X _{i}) = \frac{\theta^2}{12}}\)

Pozdrawiam i dziekuje z gory.

Tomek

Czy bedzie to tak?

\(\displaystyle{ E(X^2) = \int_{0}^{\theta}x^2 f(x)dx}\)

\(\displaystyle{ = \int_{0}^{\theta} \frac{1}{\theta}x^2}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{\theta}[ \frac{x^3}{3} ]^{\theta} _{0} = \frac{\theta^2}{3}}\)

\(\displaystyle{ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2}\)

\(\displaystyle{ Var(X) = \frac{\theta^2}{3} - ( \frac{\theta}{2} )^2 = \frac{\theta^2}{12}}\)

[bstq]

tak - to jest dobrze

[solmech]

Dziekuje slicznie!