Mam problem z poniższym zadaniem:
Na podstawie pojedyńczej obserwacji \(\displaystyle{ X}\) weryfikuje się hipotezę \(\displaystyle{ H_0:X \sim \mathbb{N}(0,1)}\) przeciwko hipotezie alternatywnej \(\displaystyle{ H_0:X \sim Laplace(0,1)}\). Skonstruować najmocniejszy test na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha}\).
Otóż korzystam z lematu Neymanna-Pearsona i obliczam:
\(\displaystyle{ f_0(x)=\frac{1}{sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}}\)
\(\displaystyle{ f_1(x)=\frac{1}{2}e^{-|x|}}\)
Mam więc:
\(\displaystyle{ ln f_0(x) - ln f_1(x) = \ldots = ln(\frac{2}{\sqrt{2\pi}})+|x|-\frac{x^2}{2}>c}\)
Jest to obszar krytyczny testu, ale nie bardzo wiem, co dalej. Mam wyznaczyć takie c, żeby było \(\displaystyle{ \mathbb{P}(K^*)=1-\alpha}\), ale jak to zrobić?
Weryfikacja hipotezy
-
bstq
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
Weryfikacja hipotezy
nie tak
musisz wziac za f_1 i f_0 gestosc laczna calej proby X_1,...X_n, czyli:
\(\displaystyle{ f_{0}(x)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^{n}e^{-\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{2}}}\)
\(\displaystyle{ f_{1}(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}e^{-\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|}}\)
czyli wychodzi coś takiego (wszystko niezwiazane z x_i opuszczasz):
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|-\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{2}>c^{\prime}}\)
\(\displaystyle{ P_{0}\left(\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|-\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{2}>k^{\star}\right)=1-\alpha}\)
musisz wziac za f_1 i f_0 gestosc laczna calej proby X_1,...X_n, czyli:
\(\displaystyle{ f_{0}(x)=\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\right)^{n}e^{-\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{2}}}\)
\(\displaystyle{ f_{1}(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}e^{-\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|}}\)
czyli wychodzi coś takiego (wszystko niezwiazane z x_i opuszczasz):
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|-\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{2}>c^{\prime}}\)
\(\displaystyle{ P_{0}\left(\sum_{i=1}^{n}\left|x_{i}\right|-\frac{\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2}}{2}>k^{\star}\right)=1-\alpha}\)
-
bstq
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
Weryfikacja hipotezy
aaa dobrze już rozumiem:)
powinienes teraz narysowac sobie funkcje:
|x|-x^2/2 i policzyc pole
powinienes teraz narysowac sobie funkcje:
|x|-x^2/2 i policzyc pole
-
bartm
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 1 mar 2008, o 19:49
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 1 raz
Weryfikacja hipotezy
Wychodzi mi dosyć skomplikowane równanie z parametrem c po jednej stronie i \(\displaystyle{ 1-\alpha}\) po drugiej. Z tego mam po prostu wyznaczyć k*, prawda?
Jak to powinno się sformułować? Wypisać obszar krytyczny \(\displaystyle{ K^*=\{ x\in\mathrm{R}:\quad |x|-x^2/2 > c\}}\), potem wyliczyć \(\displaystyle{ c}\) na podstawie tego równania i.. co dalej napisać? Że z danym \(\displaystyle{ c}\) jest to najmocniejszy test na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha}\)?
Dzięki za pomoc.
Jak to powinno się sformułować? Wypisać obszar krytyczny \(\displaystyle{ K^*=\{ x\in\mathrm{R}:\quad |x|-x^2/2 > c\}}\), potem wyliczyć \(\displaystyle{ c}\) na podstawie tego równania i.. co dalej napisać? Że z danym \(\displaystyle{ c}\) jest to najmocniejszy test na poziomie istotności \(\displaystyle{ \alpha}\)?
Dzięki za pomoc.