Rozklad dwumianowy

solmech · Post autor: **solmech** » 21 lut 2010, o 15:14

Witam,

mam takie zadanie z ktorym mam maly problem.

Z jakim prawdopodobienstwem przy rzucie moneta (10 razy) otrzymamy wiecej niz 5 razy ta sama strone?

\(\displaystyle{ n=10}\)
\(\displaystyle{ p= \frac{1}{2}}\)

Sprobowalem w ten sposob

\(\displaystyle{ P(X \ge 6) = \sum_{i=6}^{10} \cdot {10\choose i} \cdot (\frac{1}{2})^{10} =\frac{193}{512}}\)

Jednak wynikiem wedlug ksiazki jest \(\displaystyle{ \frac{193}{256}}\)

Prosze o pomoc.

scyth · Post autor: **scyth** » 22 lut 2010, o 23:31

Pomnóż swój wynik razy dwa - policzyłeś, jaka jest szansa na otrzymanie więcej niż 6 razy reszek (lub orłów), a tutaj nie ma znaczenia, czy będą to reszki czy orły. Inny sposób rozwiązania tego zadania to policzenie zdarzenia przeciwnego - wyrzucisz dokładnie pięć orłów i pięć reszek.

solmech · Post autor: **solmech** » 22 lut 2010, o 23:41

Dziekuje Jeszcze jak bys podpowiedzial kiedy musze pomnozyc przez dwa to bylbym Ci bardzo wdzieczny.

Pozdrawiam
Tomek

scyth · Post autor: **scyth** » 22 lut 2010, o 23:51

Z tego, co widzę, to po prostu źle zdefiniowałeś \(\displaystyle{ X}\). Bo powinno być:
P(otrzymamy wiecej niz 5 razy ta sama strone) = P(otrzymamy wiecej niz 5 orła) + P(otrzymamy wiecej niz 5 razy reszkę)
Ty policzyłeś tylko jedno zdarzenie (nie wiadomo które, ale to w tym przypadku nieważne). Pomyśl - gdyby szansa wyrzucenia reszki wynosiła 1/5, to jak zmieniłbyś swój wzór? Może teraz zauważysz, czego brakuje.

solmech · Post autor: **solmech** » 22 lut 2010, o 23:55

Racja! Wielkie dzieki Statystyki ucze sie od kilku dni dopiero i jest to dla mnie zupelnie nowa dziedzina matematyki.

Pozdrowiam
Tomek

scyth · Post autor: **scyth** » 23 lut 2010, o 07:46

Poza tym powinno być:
\(\displaystyle{ P(X \ge 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)}\)
Dlatego najlepiej policz to zadania korzystając ze zdarzenia przeciwnego.

solmech · Post autor: **solmech** » 23 lut 2010, o 13:51

A czy zdarzenie przeciwne w tym przyadku nie bedzie dokladnie tym samym zdarzeniem?

scyth · Post autor: **scyth** » 23 lut 2010, o 13:59

Zdarzenie przeciwne - wypadło dokładnie 5 reszek i 5 orłów.

solmech · Post autor: **solmech** » 23 lut 2010, o 17:58

scyth pisze:Poza tym powinno być:
\(\displaystyle{ P(X \ge 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)}\)
Dlatego najlepiej policz to zadania korzystając ze zdarzenia przeciwnego.

No wlasnie to niestety nie daje prawidlowego wyniku. Obliczylem dokladnie to samo w pierwszej swojej odpowiedzi.

Zakladajac ze \(\displaystyle{ P(X = i) = {n\choose i}p^i (1-p)^{n-1}}\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ P(X \ge 6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8) + P(X=9) + P(X=10) = \frac{105}{512} + \frac{15}{128}+\frac{45}{1024}+\frac{5}{512}+\frac{1}{1024} = \frac{193}{512}}\)

Dlaczego ta metoda nie otrzymuje prawidlowego rozwiazania?

scyth · Post autor: **scyth** » 23 lut 2010, o 20:34

A co to X? Bo powinno być:
P(wypadła ta sama strona co najmniej sześć razy)=
P(wypadło 6 orłów) + P(wypadło 6 reszek) +
P(wypadło 7 orłów) + P(wypadło 7 reszek) +
P(wypadło 8 orłów) + P(wypadło 8 reszek) +
P(wypadło 9 orłów) + P(wypadło 9 reszek) +
P(wypadło 10 orłów) + P(wypadło 10 reszek)
A ty liczysz same orły/reszki (dlatego twój wynik trzeba pomnożyć przez 2, żeby mieć prawidłową odpowiedź).

solmech · Post autor: **solmech** » 23 lut 2010, o 20:37

Teraz zrozumialem