znaleźć rozkład zmiennej losowej

[koreczek]

witam mam do rozwiązania kilka zadanek. zapewne są one proste ale z powodu choroby nie byłam na zajęciach i nie wiem jak się za nie zabrać. bardzo proszę o rozwiązanie i choć kilka słów komentarza.

zad1: zmienna losowa ma rozkład wykładniczy z parametrem \(\displaystyle{ \alpha}\). podać rozkład zmiennej
a) \(\displaystyle{ Y=3X-5}\)
b) Y= \(\displaystyle{ Y= \frac{1}{x}}\)

zad2: zmienna losowa X ma rozkład normalny standardowy. podać rozkład zmiennych \(\displaystyle{ Y= e^{X}}\) oraz \(\displaystyle{ Z= X^{2}}\). obliczyć EX i EY

zad3: zmienna losowa X ma rozkład absolutnie ciągły o gęstości f(x). wyznaczyć gęstość zmiennej \(\displaystyle{ Y= X^{2}}\)

z góry dziękuję za pomoc

[marcinz]

Wszystkie te zadania robi się tak samo. Zrobię tylko pierwsze, na tej podstawie powinnaś dać sobie radę z pozostałymi. Niech \(\displaystyle{ F_Z,f_Z}\) będą odpowiednio dystrybuantą i gęstością zmiennej losowej Z. Wiadomo, że wtedy \(\displaystyle{ f_Z(t)=(F_Z(t))'}\). Zauważmy, że \(\displaystyle{ F_Y(t)=P(Y \le t)=P(3X-5 \le t)=P(X \le \frac{t+5}{3})=F_X(\frac{t+5}{3})}\). Stąd dostajemy \(\displaystyle{ f_Y(t)=(F_Y(t))'=(F_X(\frac{t+5}{3}))'=\frac{1}{3}F_X'(\frac{t+5}{3})=\frac{1}{3}f_X(\frac{t+5}{3})=\frac{1}{3}\alpha e^{-\alpha \frac{t+5}{3}}}\) dla t\(\displaystyle{ in [-5,infty)}\), dla pozostałych 0.

[mat12345]

mam pytanie. czy rozkład geometryczny liczy się podobnie.