Nie umiem poradzić sobie z takim zadaniem:
Niech \(\displaystyle{ Y_{n}}\) będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie dwupunktowym \(\displaystyle{ P(Y_{1}=-1)= \frac{1}{3}, P(Y_{1}=1)= \frac{2}{3}}\). Niech \(\displaystyle{ S_{0}=0, S_{n}=Y_{1}+ ... +Y_{n} oraz F_{0}={ \emptyset , \Omega }, F_{n}=\sigma(Y_{1}, ..., Y_{n})}\). Wiadomo, że ciąg \(\displaystyle{ X _{n}=2 ^{-S_{n}}}\) jest martyngałem względem filtracji \(\displaystyle{ F_{n}}\). Czy ciąg \(\displaystyle{ X_{n}}\) jest zbieżny prawie na pewno? Jeżeli tak to do jakiej zmiennej.