\(\displaystyle{ m\sum_{i=1}^{n-1} \left(X_{i+1}- X_{i} \right)^2}\)
Dobrać stałą m , tak aby podana funkcja byla nieobciazonym estymatorem wariancji. X _{1},...,X _{n} oznaczaja ciag niezaleznych zmiennych losowych o rozkladach N(0,1).
Gdyby ktos umial zrobic zadanie w calosci bylbym bardzo wdzieczny.Jesli nie prosze o chociazby wskazowke co zrobic z tym Xn+1 i Xn tak zeby zastapic to za pomoca wartosci sredniej. BARDZO PROSZE O POMOC
dobrac stala aby funkcja byla estymatorem
-
borewicz303
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 5 sty 2010, o 23:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
-
bstq
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
dobrac stala aby funkcja byla estymatorem
\(\displaystyle{ \mathbb{E}m\cdot\sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_{i}\right)^{2}=1=Var\left(X\right)\;\text{,gdzie }X_{1},\ldots,X_{n}\text{ mają taki sam rozkład jak }X}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{m}=\mathbb{E}\sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_{i}\right)^{2}\overset{\mathbb{E}X_{j+1}=\mathbb{E}X_{j}=0}{=}\mathbb{E}\sum_{i=1}^{n-1}\left(\left(X_{i+1}-\mathbb{E}X_{i+1}\right)-\left(X_{i}-\mathbb{E}X_{i}\right)\right)^{2}=\mathbb{E}\sum_{i=1}^{n-1}\left\{ \left(X_{i+1}-\mathbb{E}X_{i+1}\right)^{2}-2\left(X_{i+1}-\mathbb{E}X_{i+1}\right)\left(X_{i}-\mathbb{E}X_{i}\right)+\left(X_{i}-\mathbb{E}X_{i}\right)^{2}\right\} =\sum_{i=1}^{n-1}\mathbb{E}\left(X_{i+1}-\mathbb{E}X_{i+1}\right)^{2}-2\sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-\mathbb{E}X_{i+1}\right)\left(X_{i}-\mathbb{E}X_{i}\right)+\sum_{i=1}^{n-1}\mathbb{E}\left(X_{i}-\mathbb{E}X_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n-1}Var\left(X_{i+1}\right)-2\sum_{i=1}^{n-1}Cov\left(X_{i+1},X_{i}\right)+\sum_{i=1}^{n-1}Var\left(X_{i}\right)=(n-1)\cdot1-2\cdot(n-1)\cdot0+(n-1)\cdot1=2n-2}\)
, bo zmienne sa niezalezne to Cov=0
\(\displaystyle{ m=\frac{1}{2n-2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{m}=\mathbb{E}\sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_{i}\right)^{2}\overset{\mathbb{E}X_{j+1}=\mathbb{E}X_{j}=0}{=}\mathbb{E}\sum_{i=1}^{n-1}\left(\left(X_{i+1}-\mathbb{E}X_{i+1}\right)-\left(X_{i}-\mathbb{E}X_{i}\right)\right)^{2}=\mathbb{E}\sum_{i=1}^{n-1}\left\{ \left(X_{i+1}-\mathbb{E}X_{i+1}\right)^{2}-2\left(X_{i+1}-\mathbb{E}X_{i+1}\right)\left(X_{i}-\mathbb{E}X_{i}\right)+\left(X_{i}-\mathbb{E}X_{i}\right)^{2}\right\} =\sum_{i=1}^{n-1}\mathbb{E}\left(X_{i+1}-\mathbb{E}X_{i+1}\right)^{2}-2\sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-\mathbb{E}X_{i+1}\right)\left(X_{i}-\mathbb{E}X_{i}\right)+\sum_{i=1}^{n-1}\mathbb{E}\left(X_{i}-\mathbb{E}X_{i}\right)^{2}=\sum_{i=1}^{n-1}Var\left(X_{i+1}\right)-2\sum_{i=1}^{n-1}Cov\left(X_{i+1},X_{i}\right)+\sum_{i=1}^{n-1}Var\left(X_{i}\right)=(n-1)\cdot1-2\cdot(n-1)\cdot0+(n-1)\cdot1=2n-2}\)
, bo zmienne sa niezalezne to Cov=0
\(\displaystyle{ m=\frac{1}{2n-2}}\)