Mam za zadanie policzyć wartość oczekiwaną, wariancję i kowariancję dystrybuanty empirycznej. Policzyłem wartość oczekiwaną, ale z wariancją mam problem - wynikający z braku aparatu matematycznego (albo jego niezrozumienia). Proszę o pomoc.
\(\displaystyle{ \overline{F}(x)=\frac{1}{n}\mathcal{E} \sum_{i=1}^{n} \mathrm{1}(X_1 \leq x)}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{D}^{2}=\mathcal{E}(\overline{F}(x))^2-(\mathcal{E}\overline{F}(x))^2}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{E}\overline{F}(x) = F(x)}\), zatem liczę tylko \(\displaystyle{ \mathcal{E}(\overline{F}(x))^2}\)
\(\displaystyle{ \mathcal{E}(\overline{F}(x))^2 = (\frac{1}{n})^2\mathcal{E}(\sum_{i=1}^n \mathrm{1}(X_i\leq x))^2 = \mathcal{E}\mathrm{1}(X_1\leq x)^2 = \int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{1}(X_1\leq x))^2 dx}\)
No i co dalej? A może przejście z \(\displaystyle{ (\frac{1}{n})^2\mathcal{E}(\sum_{i=1}^n \mathrm{1}(X_i\leq x))^2}\) do \(\displaystyle{ \mathcal{E}\mathrm{1}(X_1\leq x)^2}\) jest nieuprawnione?
