Procesy stochastyczne - spacer po prostej

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
Behcio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 22 paź 2009, o 00:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia

Procesy stochastyczne - spacer po prostej

Post autor: Behcio »

Witam.
Dostałem takie dosyć spore zadanie:

Symetryczny spacer losowy na \(\displaystyle{ \mathbb{Z}^2}\) definiuje się jako ciąg 2-wymiarowych wektorów losowych \(\displaystyle{ (X_n,Y_n)}\), np. w sposób indukcyjny. \(\displaystyle{ (X_0,Y_0) = (0,0)}\) z prawdopodobieństwem 1 oraz dla \(\displaystyle{ n \geq 0}\) rekurencyjnie \(\displaystyle{ (X_{n+1},Y_{n+1}) = (X_n,Y_n) + (\zeta_n,\xi_n)}\), gdzie wektory losowe \(\displaystyle{ (\zeta_n,\xi_n)}\) są niezależne dla \(\displaystyle{ n = 1,2,\ldots}\) i mają ten sam rozkład. Załóżmy w tym zadaniu, że
\(\displaystyle{ P((\zeta_n,\xi_n) = (1,0)) = P((\zeta_n,\xi_n) = (0,1)) = P((\zeta_n,\xi_n) = (-1,0)) =}\)
\(\displaystyle{ = P((\zeta_n,\xi_n) = (0,-1)) = \frac{1}{4}}\).
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ (\theta_n,\theta_n)}\) rzut ortogonalny spaceru \(\displaystyle{ (X_n,Y_n)}\) na diagonalę \(\displaystyle{ \Delta = \{(t,t): t \in \mathbb{R}\}}\), a przez \(\displaystyle{ (\vartheta_n,\vartheta_n)}\) rzut ortogonalny \(\displaystyle{ (X_n,Y_n)}\) na przeciwdiagonalę \(\displaystyle{ \Delta^{\sim} = \{(t,-t): t \in \mathbb{R}\}}\).

(a) Udowodnij, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) mamy \(\displaystyle{ E(X_n^2+Y_n^2) = n}\).
(b) Wyprowadź wzór
\(\displaystyle{ P((X_{2n},Y_{2n})=(0,0)) = \left({2n \choose n}\frac{1}{2^{2n}}\right) \sim \frac{2}{A^{2}n}}\)
dla pewnej stałej \(\displaystyle{ A > 0}\).
(c) Udowodnij, że \(\displaystyle{ P(\exists_{n \geq 1} (X_{2n},Y_{2n}) = (0,0)) = 1}\).
(d) Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sqrt{2}\theta_n,\sqrt{2}\vartheta_{n}, n=0,1,\ldots}\) są niezależnymi prostymi spacerami losowymi na \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\).

Na razie udało mi się pyknąć punkt a) - można to wykazać indukcyjnie.

Jeśli chodzi o (b), to myślałem, czy by nie skorzystać z formuły Stirlinga, czyli: \(\displaystyle{ n! \sim \sqrt{2\pi n}e^{-n}n}\).
Można z tego dalej podliczyć, że \(\displaystyle{ { 2n \choose n} = \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}}\), co mnie niestety nie urządza, ponieważ wtedy wychodzi:
\(\displaystyle{ \left({2n \choose n}\frac{1}{2^{2n}}\right) \sim \frac{1}{\sqrt{\pi}\sqrt{n}}}\)
a powinno wyjść w mianowniku \(\displaystyle{ n}\) zamiast \(\displaystyle{ \sqrt{n}}\).

Punkt (c) też mi przysporzył kłopotów. Myślałem, czy by nie pokazać, że zdarzenie przeciwne nie zajdzie nigdy, czyli:
\(\displaystyle{ P(\forall_{n \geq 1} (X_{2n},Y_{2n}) \neq (0,0)) = 0}\)
ale tutaj też niestety poległem

Punkt (d) to w ogóle mnie zniszczył, powalił i wyszydził.

Bardzo prosiłbym o pomoc.

Pozdrawiam,
Behcio
ODPOWIEDZ