Dowód dla średniej arytmetycznej

[Gadon]

Witam,
mam takie zadanie:
Pokazać, że dla średniej arytmetycznej zachodzi wzór:\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}(x_i- \overline{x})}\). Rozwiązanie przepisałem z tablicy, ale teraz jak je analizuje to nie rozumie kilku rzeczy być może źle przepisałem .

Rozwiązanie:
Wiemy, że:
\(\displaystyle{ n\overline{x}= \sum_{i=0}^{n}x_i}\)
oraz
\(\displaystyle{ \overline{x}= \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n} x_i}\)

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}(x_i- \overline{x})=\sum_{i=0}^{n} \left( x_i- \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=0}^{n}x_i\right)=\sum_{i=0}^{n}x_i-\sum_{i=0}^{n} \cdot \left(\frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n} x_i \right)=\\
\sum_{i=0}^{n}x_i-\sum_{i=0}^{n}x_i \cdot \overline{x}=\sum_{i=0}^{n}x_i-n\overline{x}=\sum_{i=0}^{n}x_i-n \cdot \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}x_i=0}\)

Ja nie rozumie tego kawałka:
\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}x_i-\sum_{i=0}^{n} \cdot \left(\frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n} x_i \right)=
\sum_{i=0}^{n}x_i-\sum_{i=0}^{n}x_i \cdot \overline{x}}\)

Ponieważ po lewej stronie równania mamy tylko \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}}\) a za znakiem "=" mamy już \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}x_i}\) i nie wiem skąd to \(\displaystyle{ x_i}\) sie tam wzięło.

[luka52]

To może troszkę inaczej:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n} \cdot \left(\frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n} x_i \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n} \sum_{i=0}^{n} x_i = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n} n \overline{x} = \frac{n \overline{x}}{n} \sum_{i=0}^{n} 1 = n \overline{x}}\)

no i jak teraz to wstawisz do równania, uwzględnisz, że \(\displaystyle{ n\overline{x}= \sum_{i=0}^{n}x_i}\), to otrzymasz \(\displaystyle{ n\overline{x} - n\overline{x} = 0}\).

Choć całość można pokazać znacznie prościej:

\(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}(x_i- \overline{x}) = \sum_{i=0}^{n} x_i - \overline{x} \cdot \sum_{i=0}^{n} 1 = n \overline{x} - n \overline{x} = 0}\)