Dystrybuanta rozkład

[krzysiek12345]

Zmienna losowa X ma rozkład o dystrybuancie


\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases} 0 dla x \le 0\\ 1- \alpha e ^{-x} dla x > 0 \end{cases}}\)

Znaleźć \(\displaystyle{ \alpha}\) i obliczyc \(\displaystyle{ EX^{k}}\) dla k=1,2,3.

Nie mam żadnego przykładowego rozwiązania do tego typu zadań dlatego bardzo prosiłbym o pomoc

[luka52]

Jakie warunki musi spełniać dystrybuanta dowolnej zmiennej losowej? Odpowiedź na to pytanie pozwala jednoznacznie wyznaczyć parametr \(\displaystyle{ \alpha}\).

[janusz47]

Znajdujemy funkcję gęstości zmiennej losowej X.
\(\displaystyle{ f(x) = F'(x) = \alpha e^{-x}}\) dla x \(\displaystyle{ \ge 0}\)
\(\displaystyle{ 0}\) dla \(\displaystyle{ x < 0}\)
\(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{ \infty }f(x)dx = 1}\)
\(\displaystyle{ \int_{ -\infty }^{0} 0dx + \int_{0}^{ \infty }\alpha e^{-x}dx = 0 + 0 +\alpha = 1}\)
\(\displaystyle{ \alpha = 1.}\)
\(\displaystyle{ EX^{k} = \int_{0}^{ \infty }x^{k}e^{-x}dx \ dla k =1,2,3.}\)
Całki obliczamy całkując przez części .

[kuch2r]

Odnośnie metody obliczania \(\displaystyle{ EX^{k}}\), proponowałbym wyznaczenie funkcji generującej momenty \(\displaystyle{ M_\xi (t)}\), a następnie skorzystanie z własności
\(\displaystyle{ \frac{d^{(k)} M}{dt^{(k)}}(0)=E\xi^{k}}\)