Wariancja zmiennych losowych
-
luka52
- Użytkownik
- Posty: 8601
- Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 47 razy
- Pomógł: 1816 razy
Wariancja zmiennych losowych
W jaki sposób pokazać, że dla dowolnych zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) jest: \(\displaystyle{ D^2(X+Y) = D^2 X + D^2 Y + 2 E \left[ (X- EX) (Y-EY) \right]}\) ?
-
bstq
- Użytkownik
- Posty: 319
- Rejestracja: 7 lut 2008, o 12:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 67 razy
Wariancja zmiennych losowych
\(\displaystyle{ D^{2}\left(X+Y\right)=\mathbb{E}\left(X+Y\right)^{2}-\left[\mathbb{E}\left(X+Y\right)\right]^{2}=\mathbb{E}\left(X^{2}+2XY+Y\right)-\left[\mathbb{E}X+\mathbb{E}Y\right]^{2}=\mathbb{E}X^{2}+2\mathbb{E}XY+\mathbb{E}Y-\left(\mathbb{E}X\right)^{2}-2\cdot\mathbb{E}X\cdot\mathbb{E}Y-\left(\mathbb{E}Y\right)^{2}=\left[\mathbb{E}X^{2}-\left(\mathbb{E}X\right)^{2}\right]+2\left[\mathbb{E}XY-\mathbb{E}X\cdot\mathbb{E}Y\right]+\left[\mathbb{E}Y-\left(\mathbb{E}Y\right)^{2}\right]=D^{2}\left(X\right)+D^{2}\left(Y\right)+2\cdot Cov(X,Y)}\)
bo:
\(\displaystyle{ D^{2}(Z)=\mathbb{E}\left(Z-\mathbb{E}Z\right)^{2}=\mathbb{E}\left(Z^{2}-2\cdot Z\cdot\mathbb{E}Z+\left(\mathbb{E}Z\right)^{2}\right)=\mathbb{E}Z^{2}-2\cdot\mathbb{E}Z\cdot\mathbb{E}Z+\left(\mathbb{E}Z\right)^{2}=\mathbb{E}\left(Z^{2}\right)-\left(\mathbb{E}Z\right)^{2}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ Cov(Z,U)=\mathbb{E}\left(Z-\mathbb{E}Z\right)\left(U-\mathbb{E}U\right)=\mathbb{E}\left[ZU-Z\cdot\mathbb{E}U-\mathbb{E}Z\cdot U+\mathbb{E}Z\cdot\mathbb{E}U\right]=\mathbb{E}ZU-\mathbb{E}Z\cdot\mathbb{E}U-\mathbb{E}Z\cdot\mathbb{E}U+\mathbb{E}Z\cdot\mathbb{E}U=\mathbb{E}ZU-\mathbb{E}Z\cdot\mathbb{E}U}\)
bo:
\(\displaystyle{ D^{2}(Z)=\mathbb{E}\left(Z-\mathbb{E}Z\right)^{2}=\mathbb{E}\left(Z^{2}-2\cdot Z\cdot\mathbb{E}Z+\left(\mathbb{E}Z\right)^{2}\right)=\mathbb{E}Z^{2}-2\cdot\mathbb{E}Z\cdot\mathbb{E}Z+\left(\mathbb{E}Z\right)^{2}=\mathbb{E}\left(Z^{2}\right)-\left(\mathbb{E}Z\right)^{2}}\)
oraz:
\(\displaystyle{ Cov(Z,U)=\mathbb{E}\left(Z-\mathbb{E}Z\right)\left(U-\mathbb{E}U\right)=\mathbb{E}\left[ZU-Z\cdot\mathbb{E}U-\mathbb{E}Z\cdot U+\mathbb{E}Z\cdot\mathbb{E}U\right]=\mathbb{E}ZU-\mathbb{E}Z\cdot\mathbb{E}U-\mathbb{E}Z\cdot\mathbb{E}U+\mathbb{E}Z\cdot\mathbb{E}U=\mathbb{E}ZU-\mathbb{E}Z\cdot\mathbb{E}U}\)