niech \(\displaystyle{ X_1, X_2,...,X_n}\) będzie prostą próbą losową z populacji o rozkładzie \(\displaystyle{ N(\mu, \sigma^2)}\) , a \(\displaystyle{ Y_1, Y_2, ...,Y_m}\) ppl z populacji \(\displaystyle{ N( \mu, 4\sigma^2)}\)
korzystając z obu prób wyznaczyć estymator Metodą Największej Wiarygodności
dla parametru \(\displaystyle{ \mu}\)Jak mam jedną próbę i jeden rozkład to mniej-więcej wiem co robić... tzn zapisuję funkcję wiarygodności \(\displaystyle{ L(\mu)=\bigprod_{i=1}^n \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{\frac{-(x_i-\mu )^2}{2\sigma^2}}=(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}})^n e^{\frac{-(\bigsum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2)}{2\sigma^2}}\)
logarytmuję stronami (będę szukał maksimum logarytmu, on jest rosnący i różnowartościowy, więc mogę)
\(\displaystyle{ ln(L)=\underline{ln(\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}})^n }-\frac{(\bigsum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2)}{2\sigma^2}}\)
stała, którą wywalam
minimalizuję (zmienną jest \(\displaystyle{ \mu}\)) wyrażenie \(\displaystyle{ \frac{(\bigsum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2)}{2\sigma^2}}\), po wywaleniu stałej jest to
\(\displaystyle{ \bigsum_{i=1}^{n}(x_i-\mu)^2=(x_1-\mu)^2 + (x_2 - \mu)^2 +... + (x_n-\mu)^2=x_1^2-2\mu x_1+ \mu^2+x_2^2-2 \mu x_2 + \mu^2+...+x_n^2-2 \mu x_n+\mu^2=n*\mu^2-2\mu (\bigsum_{i=1}^{n})+\bigsum_{i=1}^{n} (x_i)^2}\)
zatem
\(\displaystyle{ \frac{\partial ln(L)}{\partial \mu}=2\mu n-2\bigsum_{i=1}^{n}x_i =0 \Rightarrow \mu =\frac{1}{n}\bigsum_{i=1}^{n}X_i=\overline{X}}\)
jest to minimum, bo \(\displaystyle{ \frac{\partial ln(L)}{\partial \mu \partial \mu}=2n>0}\)
UFF
domyślam się, że wynik w drugim przypadku będzie trochę podobny, ale jak do tego dojść - tzn co zrobić z tymi dwiema próbami, gęstościami, ale jednym parametrem do oszacowania...?