Witam. To mój pierwszy post na forum, ale mam nadzieję, że uda mi się przedstawić o co mi chodzi.
1. Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{cccccc}
xi & -3 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
pi & 0,1 & 0,2 & 0,2 & 0,3 & 0,2 \\
\end{tabular}}\)
Wyznacz dystrybuantę tej zmiennej, wartość średnią, odchylenie standardowe i wariancję.
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ F(x) = P(X<x)}\)
\(\displaystyle{ x \le -3 \ F(x)=0}\)
\(\displaystyle{ x \in (-3;-1] \ F(x)=0,1}\)
\(\displaystyle{ x \in (-1;0] \ F(x)=0,3}\)
\(\displaystyle{ x \in (0;1] \ F(x)=0,5}\)
\(\displaystyle{ x \in (1;2] \ F(x)=0,8}\)
\(\displaystyle{ x \in (2;+ \infty ) \ F(x)=1}\)
Wartość średnia: \(\displaystyle{ \ E(x)= -3*-0,1 + -1*0,2 + 1*0,3 + 2*0,2 = 0,2}\)
Wariancja: \(\displaystyle{ \ V(x)=E(xi^2)-(E(x))^2}\)
\(\displaystyle{ E(x^2)=9*0,1+1*0,2+1*0,3+4*0,2=2,2}\)
\(\displaystyle{ V(x)=2,2 - 0,2^2=2,16}\)
Odchylenie standardowe: \(\displaystyle{ \sigma= \sqrt{V(x)}=1,47}\)
2. Zmienna losowa X ma rozkład ciągły o gęstości:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a(x^2+2) \ dla \ x \in (-1;2)\\0 \ dla \ x \notin (-1;2)\end{cases}}\)
Wyznacz wartość parametru a, dystrybuantę, wartość średnią i wariancję.
\(\displaystyle{ f(x) \ge 0 \ a \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x)dx=1}\)
\(\displaystyle{ \int_{-1}^{2} a(x^2+2)dx=1}\)
\(\displaystyle{ a* \int_{-1}^{2} (x^2+2)dx}\)
\(\displaystyle{ a*(\frac{x^3}{3}+2x) \left|^{2}_{-1}=9a}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{1}{9}}\)
\(\displaystyle{ F(x)=0 \ gdy \ x \le -1\\F(x)= \int_{-1}^{x} \frac{1}{9}*(x^2+2x)= \frac{1}{9}*( \frac{x^3}{3}+2x) \left|^{x}_{-1}= \frac{1}{9}*( \frac{x^3}{3}+2x+ \frac{1}{3}+2)= \frac{1}{9}*( \frac{x^3}{3}+2x+ \frac{7}{3}) \ dla\ x \in (-1;2]}\)
\(\displaystyle{ F(x)=1 \ dla \ x>2}\)
\(\displaystyle{ E(x)= \int_{- \infty }^{+ \infty }x*f(x)= \int_{-1}^{2} x* \frac{1}{9}*(x^2+2)dx= \frac{1}{9}* \int_{-1}^{2} (x^3+2x)dx= \frac{1}{9}*( \frac{x^4}{4}+x^2)\left|^{2}_{-1}= \frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ E(x^2)= \int_{-1}^{2}x^2* \frac{1}{9}*(x^2+2)dx= \frac{1}{9}* \int_{-1}^{2}(x^4+2x^2)dx= \frac{1}{9}*( \frac{x^5}{5}+ \frac{2x^3}{3}\left|^{2}_{-1})= \frac{21}{15}}\)
\(\displaystyle{ V(x)= \frac{21}{15}-( \frac{3}{4} )^2= \frac{201}{240}}\)
3. W urnie jest 5 kul białych i 3 czarne. Losujemy bez zwracania 3 kule. Rozpatrujemy zmienną losową, która przyjmuje wartości równe ilości wylosowanych kul czarnych. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa tej zmiennej.
\(\displaystyle{ n={8\choose 3}=56}\)
\(\displaystyle{ a) Losujemy \ 0 \ kul \ czarnych}}\)
\(\displaystyle{ k={3\choose 0}=1 \ P(a)= \frac{1}{56}}\)
\(\displaystyle{ b)Losujemy \ 1 \ kule \ czarną}\)
\(\displaystyle{ k1={3\choose 1}=3 \ P(b)= \frac{3}{56}}\)
\(\displaystyle{ c)Losujemy \ 2 \ kule \ czarne}\)
\(\displaystyle{ k2=({3\choose 2}=3 \ P(c)= \frac{3}{56}}\)
\(\displaystyle{ d)Losujemy \ 3 \ kule \ czarne}\)
\(\displaystyle{ k3={3\choose 3}=1 \ P(d)= \frac{1}{56}}\)
4.Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(3,5). Oblicz prawdopodobieństwo:
\(\displaystyle{ a)P(X>4) \\
b)P(X<0) \\
c)P(X \in (-1;6))}\)
\(\displaystyle{ a) \xi \sim N(3;5) \\
P( \xi > 4)= 1-P( \xi <4)=1-\phi( \frac{1}{5})=0,42...}\)
\(\displaystyle{ b) \ P( \xi < 0 ) = P( \frac{ \xi - 3}{5} < \frac{0-3}{5})= \phi ( \frac{-3}{5} ) = 1-\phi ( \frac{3}{5}) = 0,274...}\)
\(\displaystyle{ c) ?????}\)
5. Zmienna losowa (X,Y) ma rozkład dysktretny:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{cccc}
xi / yi & 0 & 2 & 4 \\
-2 & 0,1 & & \\
0 & & 0,2 & 0,2 \\
1 & 0,1 & 0,1 & 0,1 \\
3 & 0,2 & & 0,1 \\
\end{tabular}}\)
Wyznacz rozkłady brzegowe zmiennych X,Y, oblicz kowariancję tych zmiennych (moment \(\displaystyle{ \mu _{11})}\). Wyznacz F(0,5,3), F(1,1), F(2,5)
6.Zmienna losowa (X,Y) ma rozkład ciągły o gęstości \(\displaystyle{ f(x,y)= \begin{cases} a(x+4y) \ dla x \in (o,2), \ y \in (0,4) \\ 0 \ w \ pozostałych \ przypadkach \end{cases}}\)
a) Wyznacz a
b) Wyznacz rozkłady brzegowe zmiennych (X,Y)
c) Oblicz kowariancję tych zmiennych
d) Oblicz F(1,1), F(1,5), F(4,3)
To byłoby na tyle... Tych dwóch ostatnich zadań nie mogę ruszyć niestety. Prosiłbym o sprawdzenie, czy to co zrobiłem jest dobrze, oraz o ewentualną pomoc przy niezrobionych zadaniach.
Prosiłbym także o wytłumaczenie, dlaczego czasem się używa 'x' a czasem 'X'.
Pozdrawiam