Poszukuję stricte twierdzenia Fishera wraz z dowodem.
Czy ktoś mógłby polecić jakąś książkę lub zarzucić linkiem.
Ja niestety nic nie znalazłem mądrego..
Twierdzenie Fishera
-
Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Twierdzenie Fishera
Niech \(\displaystyle{ X = (X_1, \ldots, X_n)}\) - próba prosta z \(\displaystyle{ \mathcal{N}(m, \sigma_0^2)}\)
\(\displaystyle{ \sigma_0^2}\) - ustalone
\(\displaystyle{ m \in \mathbb{R}}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ T(X) = \overline{X}}\) jest dostateczna i zupełna
Zauważmy ponadto, że \(\displaystyle{ S^2(X) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2 = S^2(X-c) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-c-(\overline{X}-c))^2}\)
czyli \(\displaystyle{ S^2}\) jest niezmiennicze przy translacjach.
zatem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2 \stackrel{d}{=} \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(Y_i-\overline{Y})^2}\)
gdzie Y jest próbą prostą z \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0, \sigma_0^2)}\). Czyli \(\displaystyle{ S^2}\) jest swobodna.
No i teraz pamiętając twierdzenie Basu możemy wnioskować, że skoro \(\displaystyle{ \overline{X}}\) oraz \(\displaystyle{ S^2}\) są odpowiednio dostateczna, zupełna oraz swobodna to są one niezależne. I taka jest właśnie teza twierdzenia Fishera.
\(\displaystyle{ \sigma_0^2}\) - ustalone
\(\displaystyle{ m \in \mathbb{R}}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ T(X) = \overline{X}}\) jest dostateczna i zupełna
Zauważmy ponadto, że \(\displaystyle{ S^2(X) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2 = S^2(X-c) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-c-(\overline{X}-c))^2}\)
czyli \(\displaystyle{ S^2}\) jest niezmiennicze przy translacjach.
zatem:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\overline{X})^2 \stackrel{d}{=} \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(Y_i-\overline{Y})^2}\)
gdzie Y jest próbą prostą z \(\displaystyle{ \mathcal{N}(0, \sigma_0^2)}\). Czyli \(\displaystyle{ S^2}\) jest swobodna.
No i teraz pamiętając twierdzenie Basu możemy wnioskować, że skoro \(\displaystyle{ \overline{X}}\) oraz \(\displaystyle{ S^2}\) są odpowiednio dostateczna, zupełna oraz swobodna to są one niezależne. I taka jest właśnie teza twierdzenia Fishera.