rozklad normalny

[Jopekk]

Dla niezaleznych, identycznie rozlozonych \(\displaystyle{ X_{1},..., X_{n}}\), ze srednia \(\displaystyle{ \mu}\) i wariacja \(\displaystyle{ \sigma^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mu= \sum_{i=1}^{n}X_{i}/n}\) i \(\displaystyle{ S^{2}= \sum_{i=1}^{n}(X _{i}-\mu)^{2}/(n-1)}\), wykaz ze:

a) \(\displaystyle{ E(\mu)=\mu}\)
b)\(\displaystyle{ Var(\mu)}\)=\(\displaystyle{ \sigma^{2}/n}\)
c) wykorzystujac \(\displaystyle{ E( X_{i}^{2})=Var( X_{i})+(E( X_{i}))^{2}}\) wykaz ze: \(\displaystyle{ E(S^{2})=\sigma^{2}}\)

[kuch2r]

Mamy próbę losową \(\displaystyle{ X_1,X_2,\ldots,X_n}\) pochodzącą z rozkładu \(\displaystyle{ N(\mu,\sigma^2)}\).
Wówczas
\(\displaystyle{ EX_i=\mu}\), dla każdego \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n}\).
Ponadto
\(\displaystyle{ \mbox{Var} X_i=\sigma^2}\), dla każdego \(\displaystyle{ i=1,2,\ldots,n}\)
Zatem
\(\displaystyle{ E\overline{X}=E\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}E\left(\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\right)=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}E\left(X_i\right)=\mu}\)
itd..