wykazać asymptotyczną normalność

[mostostalek]

Niech \(\displaystyle{ X_1, X_2, X_3, ...}\) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie \(\displaystyle{ N(0,1)}\) oraz niech \(\displaystyle{ Y_n= \sum_{i=1}^{n}X_{i}}\)
Wiadomo zatem, że \(\displaystyle{ Y_n}\) ma rozkład \(\displaystyle{ \chi^{2}(n)}\).
Pokazać, że ciąg \(\displaystyle{ (\sqrt{2Y_n})}\) jest asymptotycznie normalny \(\displaystyle{ N(\sqrt{2n},1)}\) tzn, że:
\(\displaystyle{ \sqrt{2Y_n}-\sqrt{2n}}\) jest zbieżny wg rozkładu do zmiennej losowej o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N(0;1)}\)