Znajdź estymator zgodny

[mostostalek]

Niech \(\displaystyle{ X=(X_1, X_2, ..., X_n)}\) będzie próbą z populacji o rozkładzie opisanym za pomocą funkcji gęstości:
\(\displaystyle{ f_{\theta}(x)= \frac{1}{4}(2+\sqrt{\theta}x) \cdot I_{(-1;1)}(x)}\)

\(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ \theta \in (0;1)}\)
\(\displaystyle{ I_{(-1;1)}(x)= \begin{cases} 1 \ \ \ \ x \in (-1;1)\\0 \ \ \ \ \hbox{w przeciwnym przypadku}\end{cases}}\)

Podaj przykład estymatora zgodnego dla funkcji parametrycznej \(\displaystyle{ g(\theta)=\sqrt{\theta}}\). Odpowiedź uzasadnij.

[gmpkm]

\(\displaystyle{ \mathbb{E}(X_i) = \frac{\sqrt{\theta}}{6}}\). Stąd i z MPWL \(\displaystyle{ \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i \to \frac{\sqrt{\theta}}{6}}\) \(\displaystyle{ p.p.}\) Wystarczy przemnożyć przez 6