Znalezienie funkcji prawdopodobieństwa

[Dawidzi?tko]

Obsługa działa artyleryjskiego ma 3 pociski. Prawdopodobieństwo trafienia do celu jednym pociskiem wynosi 0.6. Strzelanie kończy się w chwili trafienia do celu lub wyczerpania pocisków. Niech X-liczba oddanych niezależnie strzałów. a) Znależć funkcję prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. b) Znaleźć wartość oczekiwaną liczby oddanych strzałów. c) Znaleźć medianę zmiennej losowej X.
Jak to się robi? Możecie podpowiedzieć... jakieś wskazówki..

[Gotta]

a)
X - zmienna losowa określająca liczbę oddanych strzałów, czyli \(\displaystyle{ X}\)może przyjmować wartości: 1,2 lub 3.
\(\displaystyle{ X=1}\) w przypadku, gdy pierwszy strzał będzie celny,
\(\displaystyle{ X=2}\) - w przypadku, gdy drugi będzie celny
\(\displaystyle{ X=3}\) - w przypadku, gdy trzeci strzał będzie celny, albo wszystkie trzy nie będą celne
Obliczmy prawdopodobieństwa poszczególnych wartości zmiennej X:
\(\displaystyle{ P(X=1)=0,6}\)

\(\displaystyle{ P(X=2)=0,4\cdot 0,6=0,24}\)
\(\displaystyle{ P(X=3)=0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,6+(0,4)^3=0,16}\)

A więc już mamy rozkład zmiennej losowej X

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ &$ 1$ &$ 2$ &$ 3$ \\
\hline
$P(X=x_i)$ & $0,6 $& $0,24$ &$0,16$ \\
\hline
\end{tabular}}\)

b)
Wartość oczekiwana:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \sum_{i=1}^{3}x_i \cdot P(X=x_i)}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X&=&1 \cdot 0,6+2 \cdot 0,24+3 \cdot 0,16=1,56}\)

c)
Wyznaczmy najpierw dystrybuantę zmiennej losowej X:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x_i$ &$(-\infty,1]$ &$(1, 2]$ &$(2, 3]$ &$(3, \infty)$ \\
\hline
$F(x_i)$ &$0$& $0+0,6=0,6 $& $0+0,6+0,24=0,84$ & $1$ \\
\hline
\end{tabular}\\}\)

Teraz szukamy takich x, dla których \(\displaystyle{ F(x) \le 0,5 \le F(x+0)}\). Oczywiście dla \(\displaystyle{ x=1}\) ta nierówność jest prawdziwa, bo
\(\displaystyle{ F(1)=0 \le 0,5}\) i \(\displaystyle{ F(1+0)=0,6 \ge 0,5}\)
Zatem \(\displaystyle{ Me=1}\)