Wart. oczekiwana, odch. stand., prawdop.

[Ewelisia]

Witam,
Proszę o pomoc w następującym zadaniu:

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{cccccc}
x_{i} & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 \\
p_{i} & 0,003 & 0,12 & 0,22 & 0,20 & 0,15 \\
\end{tabular}}\)
\(\displaystyle{ Nalezy \ obliczyc \ E(x) \ i \ D(odch. stand.) \ oraz \ P(x>-5), P(0<x \le 2),}\)
\(\displaystyle{ P(-1<x<2)}\)


A to jest moje przypuszczalne rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{ccccccc}
X<x & x<-2 & x<-1 & x<0 & x<1 & x<2 & x<n; n>2 \\
F(x): & 0,003 & 0,123 & 0,343 & 0,543 & 0,693 & 1 \\
\end{tabular}}\)

(tam gdzie jest wykrzyknik do góry nogami powinien być taki znak "<", ale program mi go nie wstawiał_

\(\displaystyle{ E(x) = \sum_{}^{} x_{i} \cdot p_{i}}\)
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{ccccccc}
x_{i} \cdot p_{i}: & -0,006 & -0,12 & 0 & 0,2 & 0,3 & suma:0,374
\end{tabular}}\)
\(\displaystyle{ E(x) = 0,374}\)

\(\displaystyle{ D^{2}x=x_{i}^{2} \cdot p_{i}-(x_{i} \cdot p_{i})^{2}}\)
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{ccccccc}
x_{i}^{2} \cdot p_{i} & 0,012 & 0,12 & 0 & 0,2 & 0,6 & suma:0,932
\end{tabular}}\)
\(\displaystyle{ D^{2}x=0,932-(0,374)^{2}=0,7921}\)
\(\displaystyle{ D= \sqrt{0,7921} = 0,89}\)

\(\displaystyle{ P(x>-5) = 1-P(x \le -5) = ?}\)
\(\displaystyle{ P(0<x \le 2) = F(2) - F(0) = 0,693 - 0,343 = 0,35}\)
\(\displaystyle{ P(-1<x<2) = ?}\)

[siabal]

Czegoś brakuje w rozkładzie prawdopodobieństwa gdyz na podstawie tych danych, które podałaś nie jest spełniony warunek unormowania \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{4} p_{i}\neq1}\)
na podstawie podanych danych
\(\displaystyle{ EX}\) i \(\displaystyle{ DX}\) dobrze wyznaczone..\(\displaystyle{ F(x)}\) wymaga poprawy, ale można rozwiążać zadanie bez użycia dystrybuanty.

\(\displaystyle{ P(x \le -5)=0}\)
zatem
\(\displaystyle{ P(x>-5) = 1-P(x \le -5) = 1 \newline
P(0<x \le 2) = P(X=1) + P(X=2)= 0,35\newline
P(-1<x<2) = P(X=0) + P(X=1) = 0,44}\)

[Ewelisia]

Faktycznie tam jest błąd, bo to było zadanie na egzaminie i widocznie ktoś źle spisał.
A co do prawdopodobieństwa to mam jeszcze pytania, bo nie bardzo rozumiem, jak to obliczyłeś.
Są na to jakieś wzory?
Skąd wiesz, że równa się 1? \(\displaystyle{ P(x>-5) = 1-P(x \le -5) = 1}\)
Albo tutaj, dlaczego jest P(X=1) + P(X=2)= 0,35 (jak obliczyłeś ten ułamek?)

[siabal]

skoro \(\displaystyle{ P(x \le -5)=0}\) to prawdopodobieństwo że zmienna losowa przyjmie wartość >5 wynosi 1. Logicznie patrząc, w przedziale \(\displaystyle{ (- \infty ,5>}\) nie występuje żadna wartość, więc prawdopodobieństwo = 0. Np. prawdopodobieństwo wystąpienia x=-10 jest = 0.

\(\displaystyle{ P(X=1) + P(X=2) = p(x_{1}) + p(x_{2}) = 0,20 + 015 = 0,35.}\)

Ogólnie jeśli liczymy prawdopodobieństwo z przedziału dla zmiennej typu dyskretnego to posługujemy się wzorem:

\(\displaystyle{ P(a<X<b) = \sum_{a<x_i<b}p_i}\) czyli dodajemy kolejne prawdopodobieństwa z którymi występują kolejne wartości z przedziału (a,b). Np na naszym przykładzie

\(\displaystyle{ P(-3<X<3) = \sum_{-3<x_i<3}p_i = p(x_{-2}) + p(x_{-1}) + p(x_0) + p(x_1) + p(x_2) =}\)

\(\displaystyle{ = 0,003+0,12+0,22+0,20+0,15}\)

[Ewelisia]

Oki, teraz to już wszystko wiem.
Dziękuję bardzo!
I pozdrawiam!