Wartości oczekiwane zmiennych oraz odchylenie standardowe.

[piotr87]

Witam,

Mam do rozwiązania takie zadanko,:

1. Wyznacz wartości oczekiwane zmiennych Z i W, oraz ich odchylenie standardowe, jeżeli:
\(\displaystyle{ Z=3X+2}\)
\(\displaystyle{ W=-Z-Y}\)

Założenia:
\(\displaystyle{ E(X)=1;}\)
\(\displaystyle{ D^{2}(X)=V(X)=5;}\)
\(\displaystyle{ D^{2}(Y)=V(Y)=1}\)


wyniki jakie mi powychodziły to:

\(\displaystyle{ \rightarrow Z=3X+2}\)

E(Z) = -6
V(Z) = 45

\(\displaystyle{ \rightarrow W=-X-Y}\)

E(N) = 1
V(N) = 6

ale chcę wiedzieć czy dobrze mi to wyszło, jeśli mógłby mi ktoś to rozpisać byłbym bardzo wdzięczny.

Z góry dzięki,

Pozdrawiam,
Piotrek

[kuch2r]

Zasadnicze pytanie, czy coś wiemy o zmiennych \(\displaystyle{ X,Y}\) ??

[piotr87]

Nie, tylko tyle co w treści zadania napisałem, żadnych więcej informacji dla tego zadania nie było.

[Gotta]

\(\displaystyle{ \mathbb{E}Z=\mathbb{E}(3X+2)=3\mathbb{E}X+\mathbbE2=3+2=5}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2Z=\mathbb{D}^2(3X+2)=3^2\mathbb{D}^2X+0=45}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}W=\mathbb{E}(-Z-Y)=-\mathbb{E}Z-\mathbb{E}Y=-6}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2W=\mathbb{D}^2(-Z-Y)=\mathbb{D}^2Z+\mathbb{D}^2Y=45+1=46}\)

[kuch2r]

\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2W=\mathbb{D}^2(-Z-Y)=\mathbb{D}^2Z+\mathbb{D}^2Y=45+1=46}\)

niestety, ale w naszym przypadku to nie jest prawdą.... w szczególności gdy nic nie wiemy o zależności zmiennych losowych \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\)
W przypadku, gdy zmienne losowe \(\displaystyle{ X,Y}\) są niezależne, wówczas
\(\displaystyle{ D^2(aX+bY)=a^2D^2(X)+b^2D^2(Y)}\)