Wyznaczenie wartosci oczekiwanej z własnosci

[szylejko]

witam, mam problem z rozwiązaniem następującego problemu:
Zad.2 Wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennych:
a) \(\displaystyle{ Y= -2,5X-1}\)
b) \(\displaystyle{ Z=X^2}\)
c) \(\displaystyle{ W= - X^2 - 5}\)

Jeśli \(\displaystyle{ E(X)=3; \; D^2(X)=V(X)=2; \; E(X^4)=140}\)

Wiem jak zrobic pierwszy bo znam te wlasnosci, ale nie wiem do końca jak bedzie z kwadratem bo nie wiem jaka wlasnosc zastosowac wlasnie w b i c. i co do tego ma \(\displaystyle{ x^4 = 140}\)..

dzieki

[Qń]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ E (X^2) = D^2 (X) + (EX)^2 \\
D^2 (X^2) = E (X^4) - (E(X^2))^2}\)

Q.

[szylejko]

czy dobrze w takim razie jest:

a) \(\displaystyle{ E(Y) = -2,5 E(X) - 1 = -7,5 - 1 = -8,5}\)
\(\displaystyle{ V(Y) = (-2,5)^2 D^2 (X) - 0 = 6,25 D^2(X) = 12,5}\)

b) \(\displaystyle{ E(Z) = D^2(X) + ((E(X))^2 = 2 + 9 = 11}\)
\(\displaystyle{ V(Z) = E(X^4) - E(X^2)^2 = 140 - 9^2 = 59?}\)

c) \(\displaystyle{ E(W) = D^2(X) + (E (X))^2 - 5 = 2 + 9 - 5 = 6?}\) nie wiem gdzie dokładnie się redukuje ten minus, tj. \(\displaystyle{ -x^2}\),
\(\displaystyle{ V(W) = 140 - 6^2 = 104?}\)

dzieki