zmienna dwuwymiarowa

[pdawids]

mam oto takie zadanie: \(\displaystyle{ \iint_{[0,1) \times [0,1]} cx^2 y \; \mbox d x \; \mbox d y}\) Oblicz \(\displaystyle{ E(y), E(x)}\) oraz cov(x,y). no i nie wiem z czego skorzystać aby obliczyć warość oczekiwaną i kowariancję.

[Gotta]

Najpierw wyliczmy stałą c. Jeśli \(\displaystyle{ f(x,y)=cx^2y}\) jest gęstością, to
\(\displaystyle{ \iint_{[0,1]\times [0,1]} cx^2y \mbox{d}x \mbox{d}y = 1}\)
Stąd \(\displaystyle{ c=6}\)

Zatem gęstość dana jest wzorem
\(\displaystyle{ f(x,y)=6x^2y}\) dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le 1}\) i \(\displaystyle{ 0 \le y \le 1}\)

Znajdźmy gęstości brzegowe:

\(\displaystyle{ f_1(x)= \int_0^1 6x^2y \mbox{d}y=3x^2}\)

\(\displaystyle{ f_2(y)= \int_0^1 6x^2y \mbox{d}x=2y}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \int_0^1 3x^3 \mbox{d}x =\frac{3}{4}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y=\int_0^1 2y^2 \mbox{d}y=\frac{2}{3}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}XY= \int_{0}^{1} \int_{0}^{1}6x^3y^2 \mbox{d}x \mbox{d}y=\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ cov XY=\mathbb{E}XY-\mathbb{E}X\mathbb{E}Y}\)

\(\displaystyle{ cov XY=\frac{1}{2}-\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}=0}\)