Statystyka kilka zadań - proszę o wskazówki.

[s0d]

Cześć wszystkim, dostałem do rozwiązania parę zadań. Czy ktoś mógłby mi pomóc w ich rozwiązaniu?
Prosiłbym o podpowiedzi i jakieś naprowadzenia i wskazówki co do zadań chociaż rozwiązania też były by fajne bo będę wiedział czy dobrze rozwiązałem dotychczasowe zadania.

ZAD 1. Wśród mężczyzn jest 5% daltonistów natomiast wśród kobiet 0,25%. Z grupy o jednakowej liczbie kobiet i mężczyzn wybrano jedną osobę, która była daltonistą.
Oblicz prawdopodobieństwo że jest to kobieta.

odp. Skoro z dwóch równych grup czyli po 50% (0,5) następnie liczę prawdopodobieństwo dla mężczyzn (A) następnie kobiet (B)
P(A)=0,05*0,5= 0,025
P(B)=0,0025*0,5= 0,00125
P=P(A)+P(B)=0,02625

i prawdopodobieństwo że wylosowano kobietę to P(C)=0,00125/0,02625=0,0476
CZY TO JEST DOBRZE ROZWIĄZANE?

ZAD 2. 1.Funkcja gęstości zmiennej losowej x ma postać:


f(x)=\(\displaystyle{ \begin{cases}0,5x - 0 \le ≤ x \le ≤ 2\\0 - x \le ≤ 0 \vee x > 2\end{cases}}\)


Wyznacz dystrybuantę zmiennej losowej – jej wartość oczekiwana oraz odchylenie standardowe. Oblicz:
P(x < 1,5)
P(0,5 < x < 2)
P(x > 0,5)

Komplentnie nie wiem jak to ugryźć...

ZAD 3. Zmienna losowa x ma rozkład normalny N(5,2). Oblicz P( x < 4), P( 3 < x < 9), P(x > 7)

ZAD 4. Dana jest dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) której rozkład prawdopodobieństwa jest następujący:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{ccc}
X \backslash Y & 0 & 1 \\
1 & 0,25 & 0,2 \\
2 & 0,1 & 0,45 \\
\end{tabular}}\)
Wyznacz wpółczynnik korelacji pomiędzy zmiennymi x,y.
ZAD 5. Stu studentów zapytano ile czasu spędzają na naukę w czytelni w ciągu tygodnia.

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{ccc}
Czas & Ilość studentów \\
0-2 & 10 \\
2-4 & 28 \\
4-6 & 42 \\
6-8 & 15 \\
8-10 & 5 \\
\end{tabular}}\)

a) Przeprowadz statystyczną analizę opisową czasu poświęconego w tygodniu na naukę
b) Oszacować z prawdopodobieństwem 0,95 średni czas poświęcony w tygodniu na naukę
c) Zweryfikować na poziomie istotności 0,02 hipotezę że średni czas wynosi 6h tygodniowo

[Gotta]

Zadanie 1 OK

Zadanie 2

dla \(\displaystyle{ x \le 0}\)

\(\displaystyle{ F(x)= \int_{-\infty}^x 0 \mbox{d}t =0}\)

dla \(\displaystyle{ 0 < x \le 2}\)

\(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^0 0 \cdot \mbox{d}t+\int_0^x 0,5t \mbox{d}t=\frac{1}{4}x^2}\)

dla \(\displaystyle{ x>2}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^0 0 \cdot \mbox{d}t+\int_0^2 0,5t \mbox{d}t+ \int_2^\infty 0 \mbox{d}t =1}\)

Zatem \(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0\qquad\text{dla }x \le 0\\ \frac{1}{4}x^2\qquad\text{dla }0 < x \le 2\\ 1\qquad\text{dla }x > 2 \end{cases}}\)


Zadanie 3
\(\displaystyle{ P(X<4)=F(4)=\phi \left( \frac{4-5}{2}\right)=\phi(-0,5)=1-\phi(0,5)}\)

\(\displaystyle{ P(3<X<9)=\phi \left( \frac{9-5}{2}\right)-\phi \left(\frac{3-5}{2} \right) =\phi(2)-\phi(-1)=\phi(2)-1+phi(2)=2\phi(2)-1}\)

\(\displaystyle{ P(X>7)=1-P(X \le 7)=1-\phi \left( \frac{7-5}{2} \right) =1-\phi(1)}\)

Zadanie 4.

Rozkłady brzegowe:
\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$x_i$ &$ 1$ &$ 2$ \\
\hline
$P(X=x_i)$ & $0,45 $& $0,55$ & \\
\hline
\end{tabular}}\)



\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$y_i$ &$ 0$ &$ 1$ \\
\hline
$P(Y=y_i)$ & $0,35 $& $0,65$ \\
\hline
\end{tabular}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=0,45+1,1=1,55}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^2=0,45+2,2=2,65}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2X=2,65-1,55^2=0,2475}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y=0,65}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}Y^2=0,65}\)
\(\displaystyle{ \mathbb(D)^2=0,65-0,65^2=0,2275}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}XY=1 \cdot (0 \cdot 0,25+1 \cdot 0,2)+2 \cdot (0 \cdot 0,1+1 \cdot 0,45)=1,1}\)

\(\displaystyle{ cov(X,Y)=\mathbb{E}XY-\mathbb{E}X\mathbb{E}Y}\)
\(\displaystyle{ cov(X,Y)=1,1-1,55 \cdot 0,65=0,0925}\)

\(\displaystyle{ \rho=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{\mathbb{D}^2X\mathbb{D}^2Y}}}\)
\(\displaystyle{ \rho=\frac{0,0925}{0,2475 \cdot 0,2275}=1,6428}\)

[s0d]

Ogromne dzięki masz u mnie piwo...

Zadanie 1 OK

Zadanie 2

dla \(\displaystyle{ x<0}\)

\(\displaystyle{ F(x)= \int_{-\infty}^x 0 \mbox{d}t =0}\)

dla \(\displaystyle{ 0 \le x<2}\)

\(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^0 0 \cdot \mbox{d}t+\int_0^x 0,5t \mbox{d}t=\frac{1}{4}x^2}\)

dla \(\displaystyle{ x>2}\)
\(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^0 0 \cdot \mbox{d}t+\int_0^2 0,5t \mbox{d}t+ \int_2^\infty 0 \mbox{d}t =1}\)

Zatem \(\displaystyle{ F(x)= \begin{cases} 0\qquad\text{dla }x<0\\ \frac{1}{4}x^2\qquad\text{dla }0 \le x<2\\ 1\qquad\text{dla }x \ge 2 \end{cases}}\)

Średnio rozumiem co robisz w tym zadaniu, tzw nie wiem w których miejscach używasz
P(x < 1,5), P(0,5 < x < 2), P(x > 0,5) i w ogóle nie kumam tego.. jeśli byłbyś tak dobry i byś powiedział...

[Gotta]

Zadanie 2
Wyznaczyłam jedynie dystrybuantę. Reszta poleceń mi umknęła ;P
A więc :

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X= \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x) \mbox{d}x}\)
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=\int_{-\infty}^0x \cdot 0 \mbox{d}x +\int_0^20,5x^2 \mbox{d}x +\int_2^{+\infty}x \cdot 0 \mbox{d}x =\int_0^20,5x^2 \mbox{d}x =\frac{4}{3}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{E}X^2=\int_{-\infty}^0x^2 \cdot 0 \mbox{d}x +\int_0^20,5x^3 \mbox{d}x +\int_2^{+\infty}x^2 \cdot 0 \mbox{d}x =\int_0^20,5x^3 \mbox{d}x =4}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{D}^2X=\mathbb{E}X^2-\mathbb{E}^2X=4-\frac{16}{9}=\frac{20}{9}}\)

\(\displaystyle{ \sigma =\sqrt{\frac{20}{9}}=\frac{2\sqrt{5}}{3}}\)


\(\displaystyle{ P(X<1,5)=F(1,5)=\frac{1}{4} \cdot (1,5)^2=0,5625}\)

\(\displaystyle{ P(0,5<X<2)=F(2)-F(0,5)=\frac{1}{4} \cdot 4-\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}=0,9375}\)

\(\displaystyle{ P(X>0,5)=1-P(X \le 0,5)=1-F(0,5)=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}}\)