Więc natknełam się na pewne zadanie, nie potrafie go rozwiąać i wogóle nie wiem o co w nim chodzi. gdyby ktoś mógł mi wytłumaczyć to i pokazać jakie jest poprawne rozwiązanie byłabym wdzięczna.
Korzystając z informacji podanych w tabeli, odpowiedz:
a) W jakim przedziale mieści się mzrost 68% dorosłych Polek, a w jakim 68% dorosłych Polaków (mężczyzn) ?
b) W jakim przedziale mieści się wzrost 95% mężczyzn w Japonii, a w jakim 95% mężczyzn w Polsce?
c) W jakim przedziale mieści się wzrost 99% Holenderek, a w jakim 99% Polek?
PRZECIĘTNY WZROST I ODCHYLENIE STANDARDOWE (w cm)
JAPONIA
średnia aryt. |ochylenie standardowe
Kobiety 153 | 4,8
Mężczyźni 165,5 | 5,8
HOLANDIA
Kobiety 169,6 | 6,7
Mężczyźni 182,5 | 7,5
POLSKA
Kobiety 164,2 | 5,6
Mężczyźni 176 | 7,4
Proszę po wytłumaczenie. odchylenie standardowe
Proszę po wytłumaczenie. odchylenie standardowe
Jest to klasyczny problem liczenia pola pod krzywą normalną. W tego typu zadaniach korzystasz ze standaryzacji i posługujesz się tablicą dystrybuanty rozkładu normalnego.
Wytłumaczę, Ci to na przykładzie \(\displaystyle{ a)}\) a reszta jest analogiczna
Zakładamy, że wzrost dorosłych ludzi jest cechą o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N( m, \sigma)}\)
W przykładzie a) szukamy centralnego przedziału wokół wartości średniej reprezentującego 68% wartości wzrostu wszystkich dorosłych Polek (później również Polaków). Dla Polek mamy określoną cechę - wzrost kobiet jest cechą o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ m=164.2, \sigma=5.6}\).
Czyli pytamy ile wynosi kwantyl rzędu 0.68 dla gęstości \(\displaystyle{ \phi_{164.2, 5.6}}\), gdyż 68% populacji ma wzrost poniżej tego kwantyla. Oznaczamy wartość tego kwantyla przez \(\displaystyle{ x}\). Po standaryzacji \(\displaystyle{ x}\) zmieni się w wartość kwantyla tego samego rzędu ale dla standardowej gęstości normalnej, którą łatwo znaleźć w tabeli dystrybuanty rozkładu normalnego. Szukamy wartości \(\displaystyle{ 0.68}\) wewnątrz tablicy i odczytujemy odpowiadający jej argument, który jest poszukiwaną wartością kwantyla. Wynosi ona w naszym przypadku: \(\displaystyle{ 0.47}\) korzystając z zasady standaryzacji mamy:
\(\displaystyle{ \frac{x-164.2}{5.6}=0.47 \Rightarrow x= 164.2+5.6*0.47 = 164.2+2.632 = 166.832}\)
centralny przedział wyznaczamy korzytając z symetrii rozkładu normalnego:
\(\displaystyle{ x \in <164.2-2.632, 164.2+2.632>}\)
tak więc wzrost 68% dorosłych Polek (których wzrost jest opisany rozkładem normalnym \(\displaystyle{ N(164.2,5.6))}\) ) mieści się w przedziale
\(\displaystyle{ x \in <-161.568, 166.832>}\)
dla Polaków mamy również 68% więc:
\(\displaystyle{ \frac{x-176}{7.4}=0.47 \Rightarrow x= 176+7.4*0.47 = 176+3.478 = 168.226}\)
centralny przedział wyznaczamy korzytając z symetrii rozkładu normalnego:
\(\displaystyle{ x \in <176-3.478, 176+3.478>}\)
tak więc wzrost 68% dorosłych Polaków (których wzrost jest opisany rozkładem normalnym \(\displaystyle{ N(176,7.4)}\) ) mieści się w przedziale
\(\displaystyle{ x \in <172.552, 179.478>}\)
Pozostałe przedziały rozwiązujesz analogicznie.
Korzystając z reguły 5% możesz wprost z danych wyznaczyć przedziały dla 95% w punkcie \(\displaystyle{ b)}\). Jest to przedział \(\displaystyle{ <m-2\sigma, m+2\sigma>}\)
tak więc wzrost 95% dorosłych Japonek (których wzrost jest opisany rozkładem normalnym \(\displaystyle{ N(153, 4.8)}\) ) mieści się w przedziale
\(\displaystyle{ x \in <143.4, 162.6>}\)
analogicznie wzrost 95% dorosłych Japończyków (których wzrost jest opisany rozkładem normalnym \(\displaystyle{ N(165.5, 5.8)}\) ) mieści się w przedziale
\(\displaystyle{ x \in <153.9, 177.1>}\)
Punkt \(\displaystyle{ c)}\) zostawiam Tobie na deser. Teraz powinno być już z górki.
Wytłumaczę, Ci to na przykładzie \(\displaystyle{ a)}\) a reszta jest analogiczna
Zakładamy, że wzrost dorosłych ludzi jest cechą o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ N( m, \sigma)}\)
W przykładzie a) szukamy centralnego przedziału wokół wartości średniej reprezentującego 68% wartości wzrostu wszystkich dorosłych Polek (później również Polaków). Dla Polek mamy określoną cechę - wzrost kobiet jest cechą o rozkładzie normalnym \(\displaystyle{ m=164.2, \sigma=5.6}\).
Czyli pytamy ile wynosi kwantyl rzędu 0.68 dla gęstości \(\displaystyle{ \phi_{164.2, 5.6}}\), gdyż 68% populacji ma wzrost poniżej tego kwantyla. Oznaczamy wartość tego kwantyla przez \(\displaystyle{ x}\). Po standaryzacji \(\displaystyle{ x}\) zmieni się w wartość kwantyla tego samego rzędu ale dla standardowej gęstości normalnej, którą łatwo znaleźć w tabeli dystrybuanty rozkładu normalnego. Szukamy wartości \(\displaystyle{ 0.68}\) wewnątrz tablicy i odczytujemy odpowiadający jej argument, który jest poszukiwaną wartością kwantyla. Wynosi ona w naszym przypadku: \(\displaystyle{ 0.47}\) korzystając z zasady standaryzacji mamy:
\(\displaystyle{ \frac{x-164.2}{5.6}=0.47 \Rightarrow x= 164.2+5.6*0.47 = 164.2+2.632 = 166.832}\)
centralny przedział wyznaczamy korzytając z symetrii rozkładu normalnego:
\(\displaystyle{ x \in <164.2-2.632, 164.2+2.632>}\)
tak więc wzrost 68% dorosłych Polek (których wzrost jest opisany rozkładem normalnym \(\displaystyle{ N(164.2,5.6))}\) ) mieści się w przedziale
\(\displaystyle{ x \in <-161.568, 166.832>}\)
dla Polaków mamy również 68% więc:
\(\displaystyle{ \frac{x-176}{7.4}=0.47 \Rightarrow x= 176+7.4*0.47 = 176+3.478 = 168.226}\)
centralny przedział wyznaczamy korzytając z symetrii rozkładu normalnego:
\(\displaystyle{ x \in <176-3.478, 176+3.478>}\)
tak więc wzrost 68% dorosłych Polaków (których wzrost jest opisany rozkładem normalnym \(\displaystyle{ N(176,7.4)}\) ) mieści się w przedziale
\(\displaystyle{ x \in <172.552, 179.478>}\)
Pozostałe przedziały rozwiązujesz analogicznie.
Korzystając z reguły 5% możesz wprost z danych wyznaczyć przedziały dla 95% w punkcie \(\displaystyle{ b)}\). Jest to przedział \(\displaystyle{ <m-2\sigma, m+2\sigma>}\)
tak więc wzrost 95% dorosłych Japonek (których wzrost jest opisany rozkładem normalnym \(\displaystyle{ N(153, 4.8)}\) ) mieści się w przedziale
\(\displaystyle{ x \in <143.4, 162.6>}\)
analogicznie wzrost 95% dorosłych Japończyków (których wzrost jest opisany rozkładem normalnym \(\displaystyle{ N(165.5, 5.8)}\) ) mieści się w przedziale
\(\displaystyle{ x \in <153.9, 177.1>}\)
Punkt \(\displaystyle{ c)}\) zostawiam Tobie na deser. Teraz powinno być już z górki.