X ma rozkład jednostajny, znajdz EY gdy Y=2|x| - 1

[pe2de2]

Witam mam problem z jednym zadaniem, brzmi ono następująco:

Niech X ma rozkłąd jednostajny na odcinku [-1,1] obliczyć EY i \(\displaystyle{ D^2Y}\) jeżeli Y =2|x| - 1

Same wzory nie są tu problemem, nie jestem pewnien natomiast czy dobrze rozumiem sposób przekształcenia.

dystrybuanta X będzie następująca :

\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases} 0 ; x<-1 \\ a ; -1 \le x \le 1 \\ 1 ; x \ge 1 \end{cases}}\)
jaka będzie w takim razie dystrybuanta Y ?

[bstq]

Najpierw weźmy zmienną losową \(\displaystyle{ Z=\left|X\right|}\), gdzie \(\displaystyle{ X\sim\mathcal{U}(-1,1)}\)
\(\displaystyle{ F_{Z}\left(t\right)=P\left(Z\le t\right)=P\left(\left|X\right|\le t\right)=P\left(-t\le X\le t\right)=P\left(X\le t\right)-P\left(X\le-t\right)=F_{X}(t)-F_{X}(-t)=\frac{t}{2}-\frac{-t}{2}=t}\) dla \(\displaystyle{ t\in(0,1)}\)

teraz dla \(\displaystyle{ t\in(-1,0)}\)
\(\displaystyle{ F_{Z}\left(t\right)=P\left(Z\le t\right)=P\left(\left|X\right|\le t\right)=0}\), bo \(\displaystyle{ \left|X\right|\ge 0}\)
dla \(\displaystyle{ t}\) z innych przedziałów można zgadnąć.

Zatem \(\displaystyle{ \left|X\right|\sim\mathcal{U}(0,1)}\).
Dalej korzystasz z pewnego wzoru:

(strona 3)
\(\displaystyle{ Y=2Z-1\Rightarrow F_{Y}(t)=F_{Z}\left(\frac{t+1}{2}\right)=\frac{t+1}{2}\Rightarrow Y\sim\mathcal{U}(-1,1)}\)-- 3 maja 2009, 13:37 --poprawiłem to zadanie, intuicyjnie:
\(\displaystyle{ (-1,1)\overset{|\;|}{\to}(0,1)\overset{\cdot2}{\to}(0,2)\overset{-1}{\to}(0-1,2-1)=(-1,1)}\)