zmienna losowa i hipotezy

[alutcia]

1. Wyznacz parametr \(\displaystyle{ t}\) tak, aby funkcja \(\displaystyle{ f(x)}\) była funkcją gęstości zmiennej losowej \(\displaystyle{ X}\). Wyznaczyć dystrybuantę, wartość oczekiwaną i wariancję przy ustalonej postaci funkcji. Obliczyć prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ P(X<3), P(X>5), P(3<X<5).}\)

\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} t(x-2) \mbox{ dla } x \in \left\langle 2,6 \right\rangle \\ 0 \mbox{ dla pozostałych }x\end{cases}}\)

2.Miesięczne wydatki na żywność w przeliczeniu na osobę w PLN mają rozkład normalny. Na podstawie badania \(\displaystyle{ 500}\) losowo wybranych gospodarstw w tej grupie wydatki wynoszą \(\displaystyle{ 250\mbox{ zł}}\) ze współczynnikiem zmienności równym \(\displaystyle{ 40\%}\). czy na podstawie tych danych z poziomem istotności \(\displaystyle{ 0,05}\) średnie wydatki na żywność nie przekraczają \(\displaystyle{ 260\mbox{ zł}}\) ? Przy jakim poziomie istotności podjęta decyzja weryfikacyjna ulegnie zmianie?

[Gotta]

Sprawdzamy dla jakich \(\displaystyle{ t}\) spełniona jest równość
\(\displaystyle{ \int_2^6 t(x-2) \mbox{d}x =1}\)
\(\displaystyle{ \int_2^6 t(x-2) \mbox{d}x =t\frac{x^2-4x}{2}|_{x=2}^{x=6}=8t}\)
\(\displaystyle{ 8t=1 \Leftrightarrow t=\frac{1}{8}}\)

czyli funkcja gęstości ma postać
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{8}(x-2)\qquad\text{dla } x\in <2,6>\\ 0\qquad\text{dla posotałych} \end{cases}}\)

Dystrybuanta
dla \(\displaystyle{ x<2}\) \(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^x 0\mbox{d}t =0}\)
Dla \(\displaystyle{ 2 \le x \le 6}\) \(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^2 0 \mbox{d}t +\int_2^x \frac{1}{8}(t-2) \mbox{d}t = \frac{x^2}{16}-\frac{x}{4}+\frac{1}{4}}\)
dla \(\displaystyle{ 6<x}\) \(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^2 0 \mbox{d}t +\int_2^6 \frac{1}{8}(t-2) \mbox{d}t +\int^x_6 0 \mbox{d}t=1}\)

Wartość oczekiwana
\(\displaystyle{ EX=\int_2^6 x\cdot\frac{1}{8}(x-2) \mbox{d}x =\frac{14}{3}}\)

Wariancja
\(\displaystyle{ E^2X=\int_2^6 x^2\cdot\frac{1}{8}(x-2) \mbox{d}x =\frac{68}{3}}\)
\(\displaystyle{ D^2X=EX^2-E^2X=\frac{68}{3}-\frac{14^2}{3^2}=\frac{8}{9}}\)

\(\displaystyle{ P(X<3)=F(3)=\frac{1}{16}}\)
\(\displaystyle{ P(X>5)=1-P(X<5)=1-F(5)=\frac{7}{16}}\)
\(\displaystyle{ P(3<x<5)=F(5)-F(3)=\frac{9}{16}-\frac{1}{16}=\frac{1}{2}}\)

[alutcia]

dzieki
mi wychodzilo \(\displaystyle{ t=\frac{1}{16}}\)
pozdrawiam

[stefan81]

dzieki

[marek8t]

2 literowki:
w podpunkcie dystrybuanta pierwsza całka jest od \(\displaystyle{ - \infty}\) do \(\displaystyle{ 2}\), a nie do \(\displaystyle{ x}\).
i druga jest w wariancji jest liczona calka \(\displaystyle{ E^2X}\) a powinno byc \(\displaystyle{ EX^2}\).
To tak tylko zeby się zle nie nauczyc przypadkiem