Prosba o wyjasnienie - rozkład normalny / wnioskowanie

[Czakens]

Witam.
Mam pytanie odnosnie takiego zadania:

Jakie jest prawdopodobieństwo, ze łączna suma pkt oceny jakości studiowania w probie losowej 36 elementowej studentów bedzie mniejsza od 100 pkt jesli srednia ocen zadowolenia w całej populacji wynosi 2,7 i odchylenie std=1
36 * 2,7 = 97,2
P(w<100)=P(Z < 100-97,2 / 6 ) = 0,4666
F 0,46666=06772

Wszystko jest proste i logiczne tylko dlaczego dzielimy przez 6, a nie przez "1/pierwiastek36"


A dlaczego w takim zadaniu w mianowniku mamy "odchylenie std / pierwiatek n"?
Jakie jest prawdopodobieństwo, ze w losowej grupie 36 studentów średnia ocen bedzie zawarta w przedziale 2,5-2,8. Skala ocen 1,4 - średnia 2,7
u=2,7
odchylenie std/pierwiatekn= 1/pierwiastek36 = 1/6 = 0,16
P (2,5 < x < 2,8)
z1= 2,5-2,7 / 0,16 = -1,25
z2 = 2,8 - 2,7 / 0, 16 = 0, 625
P(-1,25 < z <0,625)
P ..... = 0,6301

moje pytanie dotyczy tego dlaczego w tych dwóch zadaniach przez inne dane dzielilismy podczas "standaryzacji"

Prosilbym o szybka pomoc

Z gory bardzo dziekuje!

[bstq]

1. Chcemy skorzystać z CTG:
\(\displaystyle{ P\left(\sum_{i=1}^{36}X_{i}<100\right)=P\left(\frac{1}{36}\sum_{i=1}^{36}X_{i}<\frac{100}{36}\right)=P\left(\overline{X}_{36}<\frac{100}{36}\right)=P\left(\overline{X}_{36}-\mathbb{E}\overline{X}_{36}<\frac{100}{36}-\mathbb{E}\overline{X}_{36}\right)=P\left(\frac{\overline{X}_{36}-\mathbb{E}\overline{X}_{36}}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{36}\right)}}<\frac{\frac{100}{36}-\mathbb{E}\overline{X}_{36}}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{36}\right)}}\right)}\)
Teraz należy obliczyć:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}\overline{X}_{36}=36\cdot\frac{1}{36}\mathbb{E}X_{i}=2,7}\)
oraz:
\(\displaystyle{ \sqrt{Var\left(\overline{X}_{36}\right)}=\sqrt{Var\left(\frac{1}{36}\sum_{i=1}^{36}X_{i}\right)}=\frac{1}{36}\sqrt{Var\left(\sum_{i=1}^{36}X_{i}\right)}\overset{X_{i}-iid}{=}\frac{1}{36}\sqrt{36\cdot Var\left(X_{1}\right)}=\frac{1}{\sqrt{36}}\sqrt{Var\left(X_{1}\right)}=\frac{1}{\sqrt{36}}\cdot1}\)
Podstawiamy:
\(\displaystyle{ \Phi_{\mathcal{N}(0,1)}\left(\frac{\frac{100}{36}-\mathbb{E}\overline{X}_{36}}{\sqrt{Var\left(\overline{X}_{36}\right)}}\right)=\Phi_{\mathcal{N}(0,1)}\left(\frac{\frac{100}{36}-2,7}{\frac{1}{\sqrt{36}}}\right)=\Phi_{\mathcal{N}(0,1)}\left(6\cdot\left(\frac{100}{36}-2,7\right)\right)=\Phi_{\mathcal{N}(0,1)}\left(\frac{100}{6}-2,7\cdot6\right)=\Phi_{\mathcal{N}(0,1)}\left(\frac{100}{6}-\frac{36\cdot2,7}{36}\cdot6\right)=\Phi_{\mathcal{N}(0,1)}\left(\frac{100}{6}-\frac{36\cdot2,7}{6}\right)=\Phi_{\mathcal{N}(0,1)}\left(\frac{100}{6}-\frac{97,2}{6}\right)=\Phi_{\mathcal{N}(0,1)}\left(0,4666\right)=0,6772}\)

[Czakens]

dziekuje bardzo!

a moze jakos bardziej na "chlopski rozum" da sie to wyjasnic - tzn, dlaczego mamy dwa rozne rodzaje mianownikow?

[bstq]

co to znaczy dwa różne rodzaje mianowników? gdzie to jest?

[Czakens]

napisalem dwa zadania w poście.

w jednym w "standaryzacji" dziele przez 6, a w drugim przez 1/pierwiastek36 - a to bardzo podobne zadania. nie wiem dlaczego tak jest?

[bstq]

aaa juz czaje... moment juz to rozkminiam

To zależy od tego jakie masz warunki w zadaniu:
zad 1. "łączna suma pkt oceny jakości studiowania bedzie mniejsza od 100 pkt"

\(\displaystyle{ P\left(\sum_{i=1}^{36}X_{i}<100\right)=P\left(\frac{1}{36}\sum_{i=1}^{36}X_{i}<\frac{100}{36}\right)=\text{u góry masz wyprowadzenie tej równości}=\Phi_{\mathcal{N}(0,1)}\left(\frac{100}{6}-\frac{97,2}{6}\right)}\)

zad 2. "średnia ocen bedzie zawarta w przedziale 2,5-2,8"

\(\displaystyle{ P\left(2,5<\overline{X}_{36}<2,8\right)=P\left(2,5<\frac{1}{36}\sum_{i=1}^{36}X_{i}<2,8\right)}\)

w tej sytuacji masz średnią ocen - czyli już masz podzielone przez 36!

o to chodziło?

radzę przestudiować standaryzację którą napisałem w poprzednim poście - jest to poprawne rozumowanie...

[Czakens]

ok dzieki za pomoc!

musze niestety wyjsc z domku, ale okolo 22 to przeanalizuje i mam nadzieje, ze rozwieje to moje watpliwosci. dzieki jeszcze raz!