test z mat. stosowanej

[befree]

Proszę o pomoc w rozwiązaniu

1. Funkcja F(x)=0 dla x<0, F(x)=0,5x dla x z przedziału [0,2] i F(x)=1 dla x>2 jest dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa. Czy:
a) jest dystrybuanta rozkładu ciągłego,
b) jest to dystrybuanta rozkładu nieujemnego
c) istnieje wartość oczekiwana rozkładu i jest równa 1.

2. Niech A, B będą zdarzeniami losowymi. Czy:
a) \(\displaystyle{ P(A ^{'} \cap B ^{'} )=1-P(A \cup B)}\)
b) \(\displaystyle{ P(A \subset B)=P(B), to P(A \cap B)=1- P(B ^{'})}\)
c) \(\displaystyle{ P(A \cap B)=1, to P(A)P(B)=1.}\)

3.W każdej przestrzeni probabilistycznej (\(\displaystyle{ \Omega}\),\(\displaystyle{ \Sigma}\),P) istnieją takie zdarzenia losowe A i B, że:
a) \(\displaystyle{ P(A-B)=0}\)
b) \(\displaystyle{ P(A \cup B)=P(B)}\)
c) \(\displaystyle{ P(A \cap B)=P(A)P(B).}\)

4. Niech X oznaczona zmienna losową dwupunktową przyjmują wartość 0 i 1 z prawdopodobieństwami p i q.
a) dla każdego c z przedziału (0,1) istnieją takie p i q, że EX=c
b) istnieją takie p i q, że wariacja zmiennej losowej X jest większa niż 0,25
c) istnieją takie p i q, że dystrybuanta zmiennej losowej X jest wszędzie ciągła

5. Niech A i B będą zdarzeniami losowymi takimi, że P(A)>0 i P(B)>0. Zdarzenie A i B są niezależne jeśli:
a)\(\displaystyle{ A \cup B)=\Omega}\)
b)\(\displaystyle{ P(A)+ P(B)= 1.}\)
c)\(\displaystyle{ P(A \cap B)= P(A)P(B).}\)

6.Aby funkcja f(x) była funkcją rozkładu musi być:
a) nieujemna
b) ciągła
c) niemalejąca

7. Rozpatrzmy kwadrat o boku 10. W kwadracie umieszczono koło o promieniu R<5.
a) Prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany punkt kwadratu nie należy do koła \(\displaystyle{ =0,01R ^{2}}\)
b) istnieje takie R, że prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany punkt kwadratu nie należy do koła jest mniejszy od 0,2
c) Zdarzenia: wylosowany punkt należy do wnętrza koła i wylosowany punkt należy do wnętrza kwadratu są zdarzeniami niezależnymi.

8.Niech X będzie zmienną losową dyskretną przyjmującą skończoną wartość. Wtedy:
a) istnieje E(X)
b) istnieje Var(Y)
c) jeśli istnieje Var(Y), to Var(Y)> E(X)

9. A by funkcja F(x) była dyskretną rozkładu musi być:
a) nieujemna
b) ciągła
c) niemalejąca

10. Jeśli zdarzenia losowe A i B spełniają warunki \(\displaystyle{ A \subset B, P(B-A)>0}\), to:
a) \(\displaystyle{ P(B|A)=1}\)
b) \(\displaystyle{ P(A|B)=0,5}\)
c) \(\displaystyle{ P(A \cup B ^{'})= P(A ^{'} \cup B)}\)


z góry dzieki za pomoc

[bstq]

zaznaczam odpowiedzi prawdziwe
1. a) b) c) - jest to dystrybuanta \(\displaystyle{ \mathcal{U}(0,2)}\)
2.
a) po narysowaniu zbioru \(\displaystyle{ A^{\prime} \cap B^{\prime}}\) na diagramie Venna widać, że a) jest prawdziwe, bo \(\displaystyle{ A^{\prime} \cap B^{\prime}=\Omega \backslash \left( A \cup B\right)}\)
b) \(\displaystyle{ P \left(A \cap B \right) =P \left( A\right)}\), bo A zawiera się w B
Czyli mamy sprawdzić, czy \(\displaystyle{ P \left( A\right) = 1-P \left( B^{\prime}\right) =P \left(\Omega \backslash B^{\prime} \right)}\), a to jest prawda tylko wtedy, kiedy A=B, a u nas P(A)=P(B)=>A=B P-prawie napewno, czyli jest to prawda
c) skoro \(\displaystyle{ A \cap B=\Omega}\) P-prawie napewno, to \(\displaystyle{ A=\Omega}\) i \(\displaystyle{ B=\Omega}\), zatem c) jest prawdziwe
3. a) \(\displaystyle{ B=\Omega}\)
b) \(\displaystyle{ A=\emptyset}\)
c) \(\displaystyle{ A=\Omega}\)
4. a) \(\displaystyle{ \mathbb{E}X=0\cdot p+1\cdot q=q\in (0,1)}\)
b) \(\displaystyle{ VarX=\mathbb{E}X^{2}-(\mathbb{E}X)=0^{2}\cdot p+1^{2}\cdot q- \left(0\cdot p+1\cdot q \right)=q-q^{2} >0.25}\)
\(\displaystyle{ q^{2}-q+\frac{1}{4}<0}\)
\(\displaystyle{ q^{2}-2\cdot\frac{1}{2}\cdot q+\frac{1}{4}<0}\)
\(\displaystyle{ \left( q-\frac{1}{2}\right) ^{2}<0}\)
\(\displaystyle{ \left( q<\frac{1}{2} \wedge q>-\frac{1}{2} \right) \wedge q\in \left( 0,1\right)}\)
\(\displaystyle{ q\in(0,\frac{1}{2})}\) - istnieje takie \(\displaystyle{ q=\text{np. }\frac{1}{3} \text{ i }p=\frac{2}{3}}\)
5. tylko c) jest prawdziwy
6. musi być tylko nieujemna czyli a)
7. a) schemat geometryczny
\(\displaystyle{ P \left(\text{losujemy punkt z }\square \backslash O\right)=\frac{\text{pole}\square \backslash O}{\text{pole}\square}=\frac{100-\pi\cdot R^{2}}{100}\neq 0,01\cdot R^{2}}\)
czyli fałsz...
b) nie istnieje takie \(\displaystyle{ R<5}\), że prawdopdobieństwo z punktu a) bedzie mniejsze od 0.2, bo dla największej "granicznej" wartości \(\displaystyle{ R=5}\), to prawdopodobieństwo wynosi 0.214602, czyli fałsz
c) należy sprawdzić, czy zachodzi równość:
\(\displaystyle{ P(A\in O \cap A\in\square)=P(A\in O) \cdot P( A\in\square)}\)
\(\displaystyle{ P(A\in O \cap A\in\square)=P(A\in O)}\), bo koło zawiera się w kwadracie
\(\displaystyle{ P(A\in O) \cdot P( A\in\square)=P(A\in O)}\), bo kwadrat to cała przestrzeń \(\displaystyle{ \Omega}\), zatem \(\displaystyle{ P( A\in\square)=1}\)
czyi c) jest prawdziwe
8. a) i b) są oczywiste - prawda
c) wydaje mi sie, ze kontrprzykladem bedzie zmienna losowa: \(\displaystyle{ P \left( X=1\right)=1}\)
czyli \(\displaystyle{ X=1}\) P-p.n, bo wtedy:
\(\displaystyle{ \mathbb{E}X=1}\)
oraz \(\displaystyle{ Var X=0}\)
czyli c) - fałsz
9. musi być:
prawostronnie ciągła,
niemalejąca i w granicach miec 0 i 1, czyli nieujemna,
a) prawda
b) fałsz
c) prawda
10. \(\displaystyle{ P \left( B \backslash A\right)=P \left( B\right)-P \left(A \cap B \right)>0}\)
\(\displaystyle{ P \left( B\right)-P \left(A \cap B \right)=P \left( B\right)-P \left(A)}\), bo \(\displaystyle{ A\subset B}\)
Czyli mamy:
\(\displaystyle{ P \left( B\right)>P(A)}\)
a) Jeśli \(\displaystyle{ P(A)>0}\), to możemy napisać
\(\displaystyle{ P \left(B|A\right)= \frac{P(B \cap A)}{P(A)}=\frac{P(A)}{P(A)} =1}\)
b) fałsz
c)
\(\displaystyle{ P \left( A \cup B^{\prime}\right)=P \left( A\right)+P \left( B^{\prime}\right)+P \left( A \cap B^{\prime}\right) =P \left( A\right)+1-P \left( B\right)+0}\), bo \(\displaystyle{ A\subset B}\)
\(\displaystyle{ P \left( A ^{\prime}\cup B\right)=P \left( A^{\prime}\right)+P \left( B\right)+P \left( A^{\prime} \cap B\right)=1-P \left( A\right)+P \left( B\right)-P\left( A ^{\prime}\cap B\right)}\)
po narysowaniu diagramow Venna można dojść do wniosku, że jeśli \(\displaystyle{ A\subset B}\), to:
\(\displaystyle{ P\left( A ^{\prime}\cap B\right)=P \left(B \backslash A \right)}\)
\(\displaystyle{ P \left( A ^{\prime}\cup B\right)=1-P \left( A\right)+P \left( B\right)-P \left(B \backslash A \right)=1-P \left( A\right)+P \left( B\right)- \left(P \left( B\right)-P \left( A\right)\right)=1}\)
czyli fałsz, bo to pierwsze prawdopodobieństwo jest zawsze <1, bo \(\displaystyle{ P \left( B\right)>P(A)}\) a to drugie jest zawsze 1

[befree]

Dziękuje