Wyznaczyć stałą \(\displaystyle{ A}\) tak, aby podana niżej funkcja była gęstością pewnej zmiennej losowej X. Znaleźć dystrybuantę tej zmiennej, obliczyć \(\displaystyle{ P(X > 1)}\) i zinterpretować je na wykresie gęstości i dystrybuanty.
\(\displaystyle{ F(x)=\begin{cases} A e^{-3x}\ \text{dla}\ x>0\\0\ \text{dla}\ x\le 0\end{cases}}\)
Z gory dziękuję
Gęstość, dystrybuanta
-
SowaX
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 15 sty 2007, o 11:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Stronie Śl.
Gęstość, dystrybuanta
Ostatnio zmieniony 7 kwie 2009, o 18:29 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
Gotta
- Użytkownik
- Posty: 729
- Rejestracja: 19 mar 2009, o 11:18
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 220 razy
Gęstość, dystrybuanta
Aby funkcja f była funkcją gęstości wystarczy aby zachodziła równość
\(\displaystyle{ \int^{\infty}_0 Ae^{-3x}dx=1}\)
\(\displaystyle{ \int^{\infty}_0 Ae^{-3x}dx=-\frac{1}{3}Ae^{-3x}|_0^\infty=\frac{1}{3}A=1 \Leftrightarrow A=3}\)
A więc
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 3e^{-3x}\quad \text{dla}\quad x>0\\ 0\quad \text{dla}\quad x \le 0\end{cases}}\)
Dystrybuanta:
dla \(\displaystyle{ x \le 0}\): \(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^x 0dt=0}\)
dla \(\displaystyle{ x>0}\): \(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^0 0dt+\int_0^x 3e^{-3t}dt=1-e^{-3x}}\)
\(\displaystyle{ P(X>1)=1-P(X \le 1)=1-F(1)}\)
\(\displaystyle{ \int^{\infty}_0 Ae^{-3x}dx=1}\)
\(\displaystyle{ \int^{\infty}_0 Ae^{-3x}dx=-\frac{1}{3}Ae^{-3x}|_0^\infty=\frac{1}{3}A=1 \Leftrightarrow A=3}\)
A więc
\(\displaystyle{ f(x)= \begin{cases} 3e^{-3x}\quad \text{dla}\quad x>0\\ 0\quad \text{dla}\quad x \le 0\end{cases}}\)
Dystrybuanta:
dla \(\displaystyle{ x \le 0}\): \(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^x 0dt=0}\)
dla \(\displaystyle{ x>0}\): \(\displaystyle{ F(x)=\int_{-\infty}^0 0dt+\int_0^x 3e^{-3t}dt=1-e^{-3x}}\)
\(\displaystyle{ P(X>1)=1-P(X \le 1)=1-F(1)}\)